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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €10 000 daqui a 9 anos. Uma conta rende 5 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €10 0005% / 4n = 9
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €10 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 3 anos a 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?
P = €10 0003,6% / 12N = 36
I = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 11 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5% para 3%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 7%n = 11y1 = 5%y2 = 3%
ΔP = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é 5,5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 2%n = 4YTM = 5,5%
D = anos
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €33,00 cada e 10 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.
β = 1,3rf = 4%rm = 8%rd = 4%T = 20%
WACC = %
7.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €30 000 hoje e retorna €9 500 no final de cada ano durante 5 anos. O custo de capital é 8%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €20 000 e retorna €7 000, €8 500, €7 500, €7 000 no final dos anos 1 a 4. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 10%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·9 = 36
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,564 = €6 394,09
Resposta
PV = €6 394,09
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: I = 564,7 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Prestação mensal
i = 0,003, N = 36
A = 10 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)−36) = €293,46
Juros totais
I = N·A − P = 36·293,5 − 10 000 = €564,70
Resposta
I = €564,70
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 204 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 20/1,055 = 18,96, t·PV = 18,96
t = 2: 20/1,113 = 17,97, t·PV = 35,94
t = 3: 20/1,174 = 17,03, t·PV = 51,10
t = 4: 1020/1,239 = 823,36, t·PV = 3 293,44
Duration
P = 877,32
D = 3 399,44/877,32 = 3,875
Resposta
D = 3,875 anos
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,58 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·13% + 0,25·4,5%·(1 − 0,258) = 10,58%
Resposta
WACC = 10,58%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,864 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 9 500/1,08 = 8 796,30 → Σ = 8 796,30
ano 2: 9 500/1,166 = 8 144,72 → Σ = 16 941,02
ano 3: 9 500/1,26 = 7 541,41 → Σ = 24 482,42
ano 4: 9 500/1,36 = 6 982,78 → Σ = 31 465,20
Fração do último ano
DPB = 3 + 5 517,58/6 982,78 = 3,79
Resposta
DPB = 3,79 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,158 anos).
8.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 14,89 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.