Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €25 000 daqui a 8 anos. Uma conta rende 2 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €25 0002% / 4n = 8

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €300 no fim de cada mês durante 30 anos. A conta rende 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €3004,2% / 12N = 360

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 3 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 027 quando o rendimento até o vencimento é 5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 3P = €1 027YTM = 5%

c = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 8 anos e é vendido por €895. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 8%n = 8P = €895

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma ação com beta de 1,5 tem retorno exigido de 13,75%. A taxa livre de risco é 4%. Que retorno esperado do mercado r_m o CAPM implica?

β = 1,5r_e = 13,75%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 1 000 000 ações a €37,50 cada e 20 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 3% e o retorno do mercado é 10%. Calcule o WACC.

β = 1,1r_f = 3%r_m = 10%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €50 000 hoje e retorna €15 500 no final de cada ano durante 6 anos. O custo de capital é 5%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.

r = 5%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 500CF₂ = 15 500CF₃ = 15 500CF₄ = 15 500CF₅ = 15 500CF₆ = 15 500

DPB = anos

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €50 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €9 000 no final do ano 1 e cresce 3% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 6. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €9 000g = 3%n = 6r = 10%

NPV = €

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 21312 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·8 = 32

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1,173 = €21 312,09

Resposta

PV = €21 312,09

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 215801 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·30 = 360

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(3,518 − 1)/0,0035 = €215 800,68

Resposta

FV = €215 800,68

Pôs €108 000 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 5,991 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,05)⁻³ = €863,84

Cupom

C = (1027 − 863,84)/2,723 = €59,91

Taxa de cupom

c = 59,91/1000 = 5,991%

Resposta

c = 5,991%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 9,966 %

Equação do rendimento

€895 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Resolva numericamente

P(9%) = €944,65, P(10%) = €893,30

YTM = 9,966%

Resposta

YTM = 9,966%

5.CAPM e WACC

Resposta: r_m = 10,5 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Prêmio de risco de mercado

r_m − r_f = (13,75% − 4%)/1,5 = 6,5%

Retorno do mercado

r_m = 4% + 6,5% = 10,5%

Resposta

r_m = 10,5%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,791 %

Valores de mercado

E = 1 000 000·€37,50 = €37 500 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3% + 1,1·7% = 10,7%

Pesos

V = €58 500 000, E/V = 0,641, D/V = 0,359

WACC

WACC = 0,641·10,7% + 0,359·3,5%·(1 − 0,258) = 7,791%

Resposta

WACC = 7,791%

7.VAL e TIR

Resposta: DPB = 3,611 anos

Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.

Fluxos de caixa descontados e acumulados

ano 1: 15 500/1,05 = 14 761,90 → Σ = 14 761,90

ano 2: 15 500/1,103 = 14 058,96 → Σ = 28 820,86

ano 3: 15 500/1,158 = 13 389,48 → Σ = 42 210,34

ano 4: 15 500/1,216 = 12 751,89 → Σ = 54 962,23

Fração do último ano

DPB = 3 + 7 789,66/12 751,89 = 3,611

Resposta

DPB = 3,611 anos

O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,226 anos).

8.VAL e TIR

Resposta: NPV = −8087 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor presente da anuidade crescente

((1,03)/(1,1))⁶ = 0,674

PV = 9 000/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,674) = 41 912,82

NPV

NPV = 41 912,82 − 50 000 = −€8 087,18

Resposta

NPV = −€8 087,18

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

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