Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €2 000 a uma taxa nominal de 4 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 8 anos.

PV = €2 0004% / 4n = 8

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €300 no fim de cada mês durante 15 anos. A conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €3004,8% / 12N = 180

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 15 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 7% para 6%. Quanto ΔP varia o preço do título?

F = €1 000cupom = 6%n = 15y₁ = 7%y₂ = 6%

ΔP = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. Ele é vendido a €962. Encontre seu rendimento até o vencimento YTM como taxa anual (o dobro do rendimento semestral), em porcentagem.

F = €1 000cupom = 3% (2×)n = 9P = €962

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 2 000 000 ações a €23,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 8%. Calcule o WACC.

β = 1,8r_f = 4%r_m = 8%r_d = 4%T = 25,8%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €30 000 hoje e retorna €13 000, €7 000, €7 500, €8 500, €13 500, €7 000 no final dos anos 1 a 6. O custo de capital é 6%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 000CF₂ = 7 000CF₃ = 7 500CF₄ = 8 500CF₅ = 13 500CF₆ = 7 000

DPB = anos

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €40 000 e devolve €17 500, €14 500, €14 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −40 000CF₁ = 17 500CF₂ = 14 500CF₃ = 14 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 2750 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·8 = 32

Valor futuro

FV = 2 000·(1 + 0,01)³² = 2 000·1,375 = €2 749,88

Resposta

FV = €2 749,88

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 78861 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·15 = 180

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(2,051 − 1)/0,004 = €78 861,36

Resposta

FV = €78 861,36

Pôs €54 000 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: ΔP = 91,08 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço no rendimento antigo

C = €60,00, i = 0,07, N = 15

€60,00·(1 − 0,3624)/0,07 + €1 000·0,3624 = €546,47 + €362,45 = €908,92

Preço no rendimento novo

C = €60,00, i = 0,06, N = 15

€60,00·(1 − 0,4173)/0,06 + €1 000·0,4173 = €582,73 + €417,27 = €1 000,00

Variação

ΔP = 1 000,00 − 908,92 = €91,08

Resposta

ΔP = €91,08

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 3,496 %

Por período

C = €15,00, N = 18

Resolva numericamente

i = 1,748% por semestre

YTM

YTM = 2·1,748% = 3,496%

Resposta

YTM = 3,496%

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,333 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €6 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·9% + 0,3333·5%·(1 − 0,2) = 7,333%

Resposta

WACC = 7,333%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,331 %

Valores de mercado

E = 2 000 000·€23,00 = €46 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 4% + 1,8·4% = 11,2%

Pesos

V = €86 800 000, E/V = 0,53, D/V = 0,47

WACC

WACC = 0,53·11,2% + 0,47·4%·(1 − 0,258) = 7,331%

Resposta

WACC = 7,331%

7.VAL e TIR

Resposta: DPB = 3,774 anos

Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.

Fluxos de caixa descontados e acumulados

ano 1: 13 000/1,06 = 12 264,15 → Σ = 12 264,15

ano 2: 7 000/1,124 = 6 229,98 → Σ = 18 494,13

ano 3: 7 500/1,191 = 6 297,14 → Σ = 24 791,27

ano 4: 8 500/1,262 = 6 732,80 → Σ = 31 524,07

Fração do último ano

DPB = 3 + 5 208,73/6 732,80 = 3,774

Resposta

DPB = 3,774 anos

O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,294 anos).

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 7,637 %

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(5%) = 1 912,32

NPV(10%) = −1 589,03

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 5 + 5·1 912,32/(1 912,32 − (−1 589,03)) = 7,731%

exato: NPV(7,637%) = 0 → IRR = 7,637%

Resposta

IRR = 7,637%

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