Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Você investe €2 000 a 7% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 20 anos.

PV = €2 000r = 7%t = 20

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você quer €25 000 daqui a 4 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.

FV = €25 0002,4% / 12N = 48

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% e vence em 13 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5,5% para 6%. Quanto ΔP varia o preço do título?

F = €1 000cupom = 4,5%n = 13y₁ = 5,5%y₂ = 6%

ΔP = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 7 anos e é vendido por €1 090. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 5%n = 7P = €1 090

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma ação com beta de 1,5 tem retorno exigido de 12,5%. A taxa livre de risco é 2%. Que retorno esperado do mercado r_m o CAPM implica?

β = 1,5r_e = 12,5%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €10 000 000 e custo do capital próprio de 9%. Sua dívida consiste em 2 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 7%, 8 anos até o vencimento) negociados a €943 cada. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €10 000 000r_e = 9%títulos: 2 000 × €943cupom = 7%n = 8T = 25,8%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €200 000 hoje. Ele gera €21 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 4% ao ano para sempre. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €21 000g = 4%r = 12%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €50 000 e devolve €21 000, €31 000, €31 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −50 000CF₁ = 21 000CF₂ = 31 000CF₃ = 31 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 8110 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Expoente

r·t = 0,07·20 = 1,4

e^1,4 = 4,055

Valor futuro

FV = 2 000·4,055 = €8 110,40

Resposta

FV = €8 110,40

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 496,8 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·4 = 48

Depósito

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,002/(1,101 − 1) = €496,75

Resposta

A = €496,75

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: ΔP = −41,62 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço no rendimento antigo

C = €45,00, i = 0,055, N = 13

€45,00·(1 − 0,4986)/0,055 + €1 000·0,4986 = €410,27 + €498,56 = €908,83

Preço no rendimento novo

C = €45,00, i = 0,06, N = 13

€45,00·(1 − 0,4688)/0,06 + €1 000·0,4688 = €398,37 + €468,84 = €867,21

Variação

ΔP = 867,21 − 908,83 = −€41,62

Resposta

ΔP = −€41,62

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 3,527 %

Equação do rendimento

€1 090 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Resolva numericamente

P(3%) = €1 124,61, P(4%) = €1 060,02

YTM = 3,527%

Resposta

YTM = 3,527%

5.CAPM e WACC

Resposta: r_m = 9 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Prêmio de risco de mercado

r_m − r_f = (12,5% − 2%)/1,5 = 7%

Retorno do mercado

r_m = 2% + 7% = 9%

Resposta

r_m = 9%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,513 %

Custo da dívida (YTM)

943 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 7,992%

Valores de mercado

D = 2 000·€943 = €1 886 000

V = €11 886 000, E/V = 0,8413, D/V = 0,1587

WACC

WACC = 0,8413·9% + 0,1587·7,992%·(1 − 0,258) = 8,513%

Resposta

WACC = 8,513%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 62500 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor dos fluxos de caixa

PV = 21 000/(0,12 − 0,04) = 262 500,00

NPV

NPV = 262 500,00 − 200 000 = €62 500,00

Resposta

NPV = €62 500,00

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 28,45 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(25%) = 2 768,00

NPV(30%) = −1 165,23

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 25 + 5·2 768,00/(2 768,00 − (−1 165,23)) = 28,52%

exato: NPV(28,45%) = 0 → IRR = 28,45%

Resposta

IRR = 28,45%

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