Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €40 000 daqui a 2 anos. Uma conta rende 5 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €40 0005% / 4n = 2

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um financiamento imobiliário de €250 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 30 anos a 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 12? Encontre o saldo devedor B.

P = €250 0003,6% / 12N = 360k = 144

B = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 11 anos. O rendimento até o vencimento é de 5,5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 4%YTM = 5,5%n = 11

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 10 anos e é vendido por €845. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 7%n = 10P = €845

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma ação com beta de 1,5 tem retorno exigido de 8,5%. A taxa livre de risco é 1%. Que retorno esperado do mercado r_m o CAPM implica?

β = 1,5r_e = 8,5%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €10 000 000 e custo do capital próprio de 9%. Sua dívida consiste em 8 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 5%, 7 anos até o vencimento) negociados a €1 092 cada. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €10 000 000r_e = 9%títulos: 8 000 × €1 092cupom = 5%n = 7T = 30%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €20 000 hoje, dura 5 anos e custa €1 500 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 8%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.

C₀ = €20 000M = €1 500n = 5r = 8%

EAC = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €20 000 e devolve €10 500, €13 000, €12 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 500CF₂ = 13 000CF₃ = 12 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 36216 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·2 = 8

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,104 = €36 215,94

Resposta

PV = €36 215,94

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: B = 180495 €

Prestação mensal

i = 0,003, N = 360

A = 250 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻³⁶⁰) = €1 136,61

Valor presente das prestações restantes

O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.

N − k = 360 − 144 = 216

B = 1137·(1 − (1 + 0,003)⁻²¹⁶)/0,003 = €180 494,74

Resposta

B = €180 494,74

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 877,4 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €20,00, i = 0,0275, N = 22

Valor presente dos cupons

€20,00·(1 − 0,5506)/0,0275 = €326,87

Valor presente do valor de face

€1 000·0,5506 = €550,55

Preço

P = €877,42

Resposta

P = €877,42

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 9,465 %

Equação do rendimento

€845 = €70·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Resolva numericamente

P(9%) = €871,65, P(10%) = €815,66

YTM = 9,465%

Resposta

YTM = 9,465%

5.CAPM e WACC

Resposta: r_m = 6 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Prêmio de risco de mercado

r_m − r_f = (8,5% − 1%)/1,5 = 5%

Retorno do mercado

r_m = 1% + 5% = 6%

Resposta

r_m = 6%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 5,945 %

Custo da dívida (YTM)

1092 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 3,496%

Valores de mercado

D = 8 000·€1 092 = €8 736 000

V = €18 736 000, E/V = 0,5337, D/V = 0,4663

WACC

WACC = 0,5337·9% + 0,4663·3,496%·(1 − 0,3) = 5,945%

Resposta

WACC = 5,945%

7.VAL e TIR

Resposta: EAC = 6509 €

Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.

Fator de anuidade

(1 − 1,08⁻⁵)/0,08 = 3,993

Preço de compra anualizado

20 000/3,993 = 5 009,13

EAC

EAC = 5 009,13 + 1 500 = €6 509,13

Resposta

EAC = €6 509,13

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 34,97 %

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(30%) = 1 458,81

NPV(35%) = −8,64

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 30 + 5·1 458,81/(1 458,81 − (−8,64)) = 34,97%

exato: NPV(34,97%) = 0 → IRR = 34,97%

Resposta

IRR = 34,97%

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