Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €20 000 a uma taxa nominal de 4 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 2 anos.

PV = €20 0004% / 4n = 2

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais durante 5 anos. A taxa de juro é de 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.

P = €20 0003,6% / 12N = 60

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 7% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 3%YTM = 7%n = 10

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 8 anos e é vendido por €945. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 7%n = 8P = €945

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

As ações de uma empresa têm beta de 1,2 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,25. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1. A alíquota de imposto é 21%, a taxa livre de risco 4% e o prêmio de risco de mercado 5%. Encontre o custo do capital próprio r_e após a mudança.

β_L = 1,2D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1T = 21%r_f = 4%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €200 000 hoje. Ele gera €19 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 3% ao ano para sempre. O custo de capital é 11%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €19 000g = 3%r = 11%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

O projeto A custa €10 000 e retorna €5 500, €4 000, €2 000 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €12 000 e retorna €3 500, €4 500, €6 000. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 000B: −12 000, 3 500, 4 500, 6 000

r* = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 21657 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,04/4 = 0,01

N = m·n = 4·2 = 8

Valor futuro

FV = 20 000·(1 + 0,01)⁸ = 20 000·1,083 = €21 657,13

Resposta

FV = €21 657,13

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 364,7 €

Taxa mensal e número de prestações

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·5 = 60

Prestação

O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.

(1 + i)^−N = 0,8355

A = 20 000·0,003/(1 − 0,8355) = €364,73

Resposta

A = €364,73

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 715,8 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €15,00, i = 0,035, N = 20

Valor presente dos cupons

€15,00·(1 − 0,5026)/0,035 = €213,19

Valor presente do valor de face

€1 000·0,5026 = €502,57

Preço

P = €715,75

Resposta

P = €715,75

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 7,955 %

Equação do rendimento

€945 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Resolva numericamente

P(7%) = €1 000,00, P(8%) = €942,53

YTM = 7,955%

Resposta

YTM = 7,955%

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 9,036 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·13% + 0,4286·5%·(1 − 0,25) = 9,036%

Resposta

WACC = 9,036%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 12,97 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Desalavanque o beta

β_U = 1,2/(1 + 0,79·0,25) = 1,002

Realavanque com o novo D/E

β_L = 1,002·(1 + 0,79·1) = 1,794

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 4% + 1,794·5% = 12,97%

Resposta

r_e = 12,97%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 37500 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor dos fluxos de caixa

PV = 19 000/(0,11 − 0,03) = 237 500,00

NPV

NPV = 237 500,00 − 200 000 = €37 500,00

Resposta

NPV = €37 500,00

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: r* = 5,046 %

Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.

Diferença dos fluxos de caixa

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 500 − 5 500 = −2 000

ΔCF₂ = 4 500 − 4 000 = 500

ΔCF₃ = 6 000 − 2 000 = 4 000

TIR da diferença

NPV_Δ(5%) = 4,10

NPV_Δ(6%) = −83,32

r* = 5,046%

Resposta

r* = 5,046%

Verificação: a 5,046% os dois VPLs valem €586,14.

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