Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Uma anuidade paga €5 000 no final de cada ano durante 5 anos. A taxa de juros é 5% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.

A = €5 000i = 5%n = 5

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €150 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 25 anos a 5,4% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €150 0005,4% / 12N = 300

I = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 12 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 9% para 7%. Quanto ΔP varia o preço do título?

F = €1 000cupom = 5%n = 12y₁ = 9%y₂ = 7%

ΔP = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com 20 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 9%) é vendido a €1 212. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 4 anos a um preço de resgate de €1 090. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.

F = €1 000cupom = 9%P = €1 212preço de resgate = €1 090resgate em 4 anos

YTC = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio no valor de €8 000 000 e dívida no valor de €1 000 000. Seu WACC é 12,79%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o custo do capital próprio r_e.

E = €8 000 000D = €1 000 000WACC = 12,79%r_d = 4,5%T = 30%

r_e = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €12 000 000 e custo do capital próprio de 11%. Sua dívida consiste em 2 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 4%, 12 anos até o vencimento) negociados a €911 cada. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €12 000 000r_e = 11%títulos: 2 000 × €911cupom = 4%n = 12T = 21%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €80 000 hoje. Ela gera €30 000 no final de cada ano durante 3 anos e depois pode ser vendida por €16 000. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €80 000CF = €30 000S = €16 000n = 3r = 8%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

O projeto A custa €10 000 e retorna €5 500, €4 000, €2 500 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €20 000 e retorna €5 000, €8 500, €10 000. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −20 000, 5 000, 8 500, 10 000

r* = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 21647 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Fator de anuidade

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,7835)/0,05 = 4,329

Valor atual

PV = 5 000·4,329 = €21 647,38

Resposta

PV = €21 647,38

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 123658 €

Prestação mensal

i = 0,0045, N = 300

A = 150 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻³⁰⁰) = €912,19

Juros totais

I = N·A − P = 300·912,2 − 150 000 = €123 658,46

Resposta

I = €123 658,46

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: ΔP = 127,6 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço no rendimento antigo

C = €50,00, i = 0,09, N = 12

€50,00·(1 − 0,3555)/0,09 + €1 000·0,3555 = €358,04 + €355,53 = €713,57

Preço no rendimento novo

C = €50,00, i = 0,07, N = 12

€50,00·(1 − 0,444)/0,07 + €1 000·0,444 = €397,13 + €444,01 = €841,15

Variação

ΔP = 841,15 − 713,57 = €127,58

Resposta

ΔP = €127,58

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTC = 5,094 %

Equação do rendimento

1212 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1090/(1 + y)⁴

Resolva numericamente

y = 5%: €1 215,88

y = 6%: €1 175,24

YTC = 5,094%

Resposta

YTC = 5,094%

O rendimento até o vencimento é 6,999%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.

5.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 14 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111

Parte da dívida no WACC

0,1111·4,5%·(1 − 0,3) = 0,35%

Custo do capital próprio

r_e = (12,79% − 0,35%)/0,8889 = 14%

Resposta

r_e = 14%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 10,07 %

Custo da dívida (YTM)

911 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 5,004%

Valores de mercado

D = 2 000·€911 = €1 822 000

V = €13 822 000, E/V = 0,8682, D/V = 0,1318

WACC

WACC = 0,8682·11% + 0,1318·5,004%·(1 − 0,21) = 10,07%

Resposta

WACC = 10,07%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 10014 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor presente dos fluxos de caixa anuais

30 000·2,577 = 77 312,91

Valor presente do valor residual

16 000/1,26 = 12 701,32

NPV

NPV = −80 000 + 77 312,91 + 12 701,32 = €10 014,23

Resposta

NPV = €10 014,23

8.VAL e TIR

Resposta: r* = 5,328 %

Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.

Diferença dos fluxos de caixa

ΔCF₀ = −20 000 − (−10 000) = −10 000

ΔCF₁ = 5 000 − 5 500 = −500

ΔCF₂ = 8 500 − 4 000 = 4 500

ΔCF₃ = 10 000 − 2 500 = 7 500

TIR da diferença

NPV_Δ(5%) = 84,22

NPV_Δ(6%) = −169,57

r* = 5,328%

Resposta

r* = 5,328%

Verificação: a 5,328% os dois VPLs valem €966,83.

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