Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €20 000 a uma taxa nominal de 4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 2 anos.

PV = €20 0004% / 12n = 2

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €25 000 é pago em prestações mensais iguais durante 4 anos. A taxa de juro é de 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.

P = €25 0004,8% / 12N = 48

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% e vence em 10 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 2,5% para 1,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?

F = €1 000cupom = 8%n = 10y₁ = 2,5%y₂ = 1,5%

ΔP = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 10 anos e é vendido por €850. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 8%n = 10P = €850

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €10 000 000, ações preferenciais no valor de €2 000 000 e dívida no valor de €2 000 000. O custo do capital próprio é 9%, o custo das ações preferenciais 6,5% e o custo da dívida antes dos impostos 3%. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC.

E = €10 000 000P_s = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 9%r_p = 6,5%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 2 500 000 ações a €36,50 cada e 10 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 28%. O beta da ação é 1,3, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 11%. Calcule o WACC.

β = 1,3r_f = 4%r_m = 11%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €60 000 hoje, dura 5 anos e custa €3 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 8%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.

C₀ = €60 000M = €3 000n = 5r = 8%

EAC = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €20 000 e devolve €13 500, €12 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 500CF₂ = 12 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 21663 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·2 = 24

Valor futuro

FV = 20 000·(1 + 0,003333)²⁴ = 20 000·1,083 = €21 662,86

Resposta

FV = €21 662,86

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 573,5 €

Taxa mensal e número de prestações

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·4 = 48

Prestação

O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.

(1 + i)^−N = 0,8256

A = 25 000·0,004/(1 − 0,8256) = €573,47

Resposta

A = €573,47

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: ΔP = 118,1 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço no rendimento antigo

C = €80,00, i = 0,025, N = 10

€80,00·(1 − 0,7812)/0,025 + €1 000·0,7812 = €700,17 + €781,20 = €1 481,36

Preço no rendimento novo

C = €80,00, i = 0,015, N = 10

€80,00·(1 − 0,8617)/0,015 + €1 000·0,8617 = €737,77 + €861,67 = €1 599,44

Variação

ΔP = 1 599,44 − 1 481,36 = €118,08

Resposta

ΔP = €118,08

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 10,49 %

Equação do rendimento

€850 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Resolva numericamente

P(10%) = €877,11, P(11%) = €823,32

YTM = 10,49%

Resposta

YTM = 10,49%

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,657 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = 10 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €14 000 000

E/V = 0,7143, P_s/V = 0,1429, D/V = 0,1429

WACC

WACC = 0,7143·9% + 0,1429·6,5% + 0,1429·3%·(1 − 0,3) = 7,657%

Resposta

WACC = 7,657%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 12,29 %

Valores de mercado

E = 2 500 000·€36,50 = €91 250 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 4% + 1,3·7% = 13,1%

Pesos

V = €101 450 000, E/V = 0,8995, D/V = 0,1005

WACC

WACC = 0,8995·13,1% + 0,1005·7%·(1 − 0,28) = 12,29%

Resposta

WACC = 12,29%

7.VAL e TIR

Resposta: EAC = 18027 €

Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.

Fator de anuidade

(1 − 1,08⁻⁵)/0,08 = 3,993

Preço de compra anualizado

60 000/3,993 = 15 027,39

EAC

EAC = 15 027,39 + 3 000 = €18 027,39

Resposta

EAC = €18 027,39

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 18,24 %

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(15%) = 812,85

NPV(20%) = −416,67

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 15 + 5·812,85/(812,85 − (−416,67)) = 18,31%

exato: NPV(18,24%) = 0 → IRR = 18,24%

Resposta

IRR = 18,24%

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