Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Uma anuidade paga €5 000 no final de cada ano durante 15 anos. A taxa de juros é 6% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.

A = €5 000i = 6%n = 15

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você toma emprestado €15 000 a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €175 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.

P = €15 000A = €1752,4% / 12

N = pagamentos

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 10 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 7%YTM = 2,5%n = 10

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 3% vence em 6 anos e é vendido por €875. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 3%n = 6P = €875

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €4 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 10%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

As ações de uma empresa têm beta de 1,5 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,4. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1. A alíquota de imposto é 28%, a taxa livre de risco 3% e o prêmio de risco de mercado 6%. Encontre o custo do capital próprio r_e após a mudança.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1T = 28%r_f = 3%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €20 000 hoje e retorna €6 000 no final de cada ano durante 4 anos. O custo de capital é 5%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 000CF₃ = 6 000CF₄ = 6 000

DPB = anos

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €10 000 e devolve €5 500, €5 000, €6 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 5 000CF₃ = 6 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 48561 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Fator de anuidade

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,4173)/0,06 = 9,712

Valor atual

PV = 5 000·9,712 = €48 561,24

Resposta

PV = €48 561,24

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: N = 95 pagamentos

Reorganize a fórmula da anuidade

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,002/175 = 0,8286

Resolver com logaritmos

N = −ln(0,8286)/ln(1,002) = 94,12

Arredonde para cima até pagamentos inteiros

94 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.

N = 95

Resposta

N = 95 pagamentos

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1396 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €35,00, i = 0,0125, N = 20

Valor presente dos cupons

€35,00·(1 − 0,78)/0,0125 = €615,98

Valor presente do valor de face

€1 000·0,78 = €780,01

Preço

P = €1 395,98

Resposta

P = €1 395,98

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 5,502 %

Equação do rendimento

€875 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Resolva numericamente

P(5%) = €898,49, P(6%) = €852,48

YTM = 5,502%

Resposta

YTM = 5,502%

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·10% + 0,4286·4%·(1 − 0,25) = 7%

Resposta

WACC = 7%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 15,02 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Desalavanque o beta

β_U = 1,5/(1 + 0,72·0,4) = 1,165

Realavanque com o novo D/E

β_L = 1,165·(1 + 0,72·1) = 2,003

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3% + 2,003·6% = 15,02%

Resposta

r_e = 15,02%

7.VAL e TIR

Resposta: DPB = 3,742 anos

Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.

Fluxos de caixa descontados e acumulados

ano 1: 6 000/1,05 = 5 714,29 → Σ = 5 714,29

ano 2: 6 000/1,103 = 5 442,18 → Σ = 11 156,46

ano 3: 6 000/1,158 = 5 183,03 → Σ = 16 339,49

ano 4: 6 000/1,216 = 4 936,21 → Σ = 21 275,70

Fração do último ano

DPB = 3 + 3 660,51/4 936,21 = 3,742

Resposta

DPB = 3,742 anos

O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,333 anos).

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 31,02 %

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(30%) = 147,93

NPV(35%) = −540,57

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 30 + 5·147,93/(147,93 − (−540,57)) = 31,07%

exato: NPV(31,02%) = 0 → IRR = 31,02%

Resposta

IRR = 31,02%

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