Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Uma anuidade paga €8 000 no final de cada ano durante 20 anos. A taxa de juros é 6% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.

A = €8 000i = 6%n = 20

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você quer €10 000 daqui a 10 anos. Você poupa o mesmo valor no final de cada mês em uma conta que rende 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Encontre o depósito mensal A.

FV = €10 0007,2% / 12N = 120

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 4%YTM = 2,5%n = 9

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é 5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 6%n = 4YTM = 5%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,1. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,6. A alíquota de imposto é 25,8%, a taxa livre de risco é 2% e o prêmio de risco de mercado é 4%. Encontre o custo do capital próprio r_e na nova estrutura de capital.

β_U = 1,1D/E = 0,6T = 25,8%r_f = 2%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €20 000 hoje, dura 5 anos e custa €1 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 6%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.

C₀ = €20 000M = €1 000n = 5r = 6%

EAC = €

8.VAL e TIRDifícil

O projeto A custa €30 000 e retorna €17 000, €11 500, €7 000 no final dos anos 1 a 3. O projeto B custa €32 000 e retorna €10 000, €12 000, €17 000. Encontre a taxa de Fisher (ponto de interseção) r* na qual os dois projetos têm o mesmo VPL, em porcentagem.

A: −30 000, 17 000, 11 500, 7 000B: −32 000, 10 000, 12 000, 17 000

r* = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 91759 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Fator de anuidade

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3118)/0,06 = 11,47

Valor atual

PV = 8 000·11,47 = €91 759,37

Resposta

PV = €91 759,37

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 57,14 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·10 = 120

Depósito

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,006/(2,05 − 1) = €57,14

Resposta

A = €57,14

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1120 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €20,00, i = 0,0125, N = 18

Valor presente dos cupons

€20,00·(1 − 0,7996)/0,0125 = €320,59

Valor presente do valor de face

€1 000·0,7996 = €799,63

Preço

P = €1 120,22

Resposta

P = €1 120,22

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 3,679 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 60/1,05 = 57,14, t·PV = 57,14

t = 2: 60/1,103 = 54,42, t·PV = 108,84

t = 3: 60/1,158 = 51,83, t·PV = 155,49

t = 4: 1060/1,216 = 872,06, t·PV = 3 488,26

Duration

P = 1 035,46

D = 3 809,74/1 035,46 = 3,679

Resposta

D = 3,679 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 9 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·13% + 0,4444·5%·(1 − 0,2) = 9%

Resposta

WACC = 9%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 8,359 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Beta alavancado

β_L = 1,1·(1 + 0,742·0,6) = 1,59

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 2% + 1,59·4% = 8,359%

Resposta

r_e = 8,359%

7.VAL e TIR

Resposta: EAC = 5748 €

Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.

Fator de anuidade

(1 − 1,06⁻⁵)/0,06 = 4,212

Preço de compra anualizado

20 000/4,212 = 4 747,93

EAC

EAC = 4 747,93 + 1 000 = €5 747,93

Resposta

EAC = €5 747,93

8.VAL e TIR

Resposta: r* = 7,33 %

Taxa de interseção (taxa de Fisher): a taxa de desconto na qual dois projetos têm o mesmo VPL. Ela é a TIR da diferença entre seus fluxos de caixa (B − A). Abaixo dela, o projeto com fluxos de caixa maiores e mais tardios tem o VPL mais alto; acima dela, o outro vence.

Diferença dos fluxos de caixa

ΔCF₀ = −32 000 − (−30 000) = −2 000

ΔCF₁ = 10 000 − 17 000 = −7 000

ΔCF₂ = 12 000 − 11 500 = 500

ΔCF₃ = 17 000 − 7 000 = 10 000

TIR da diferença

NPV_Δ(7%) = 57,64

NPV_Δ(8%) = −114,49

r* = 7,33%

Resposta

r* = 7,33%

Verificação: a 7,33% os dois VPLs valem €1 483,38.

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