Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Uma anuidade paga €1 000 no final de cada ano durante 12 anos. A taxa de juros é 6% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.

A = €1 000i = 6%n = 12

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €30 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 4 anos a 6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €30 0006% / 12N = 48

I = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% em dois pagamentos semestrais e vence em 12 anos. O rendimento até o vencimento é de 7% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 2%YTM = 7%n = 12

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é 5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 3%n = 4YTM = 5%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.

E = €2 000 000D = €1 000 000r_e = 9%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

As ações de uma empresa têm beta de 1,5 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,25. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1,25. A alíquota de imposto é 28%, a taxa livre de risco 1,5% e o prêmio de risco de mercado 4%. Encontre o custo do capital próprio r_e após a mudança.

β_L = 1,5D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1,25T = 28%r_f = 1,5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €9 000, €6 000, €5 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 6 000CF₃ = 5 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €80 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €9 000 no final do ano 1 e cresce 5% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 10. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €9 000g = 5%n = 10r = 8%

NPV = €

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 8384 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Fator de anuidade

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,497)/0,06 = 8,384

Valor atual

PV = 1 000·8,384 = €8 383,84

Resposta

PV = €8 383,84

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 3818 €

Prestação mensal

i = 0,005, N = 48

A = 30 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻⁴⁸) = €704,55

Juros totais

I = N·A − P = 48·704,6 − 30 000 = €3 818,44

Resposta

I = €3 818,44

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 598,5 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €10,00, i = 0,035, N = 24

Valor presente dos cupons

€10,00·(1 − 0,438)/0,035 = €160,58

Valor presente do valor de face

€1 000·0,438 = €437,96

Preço

P = €598,54

Resposta

P = €598,54

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 3,821 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 30/1,05 = 28,57, t·PV = 28,57

t = 2: 30/1,103 = 27,21, t·PV = 54,42

t = 3: 30/1,158 = 25,92, t·PV = 77,75

t = 4: 1030/1,216 = 847,38, t·PV = 3 389,53

Duration

P = 929,08

D = 3 550,27/929,08 = 3,821

Resposta

D = 3,821 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,113 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·9% + 0,3333·4,5%·(1 − 0,258) = 7,113%

Resposta

WACC = 7,113%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 11,16 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Desalavanque o beta

β_U = 1,5/(1 + 0,72·0,25) = 1,271

Realavanque com o novo D/E

β_L = 1,271·(1 + 0,72·1,25) = 2,415

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 2,415·4% = 11,16%

Resposta

r_e = 11,16%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −3622 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 9 000/1,12 = 8 035,71

CF₂/(1 + 0,12)² = 6 000/1,254 = 4 783,16

CF₃/(1 + 0,12)³ = 5 000/1,405 = 3 558,90

Somar

NPV = €−3 622,22

Resposta

NPV = €−3 622,22

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: NPV = −6348 €

Valor presente da anuidade crescente

((1,05)/(1,08))¹⁰ = 0,7545

PV = 9 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,7545) = 73 651,98

NPV

NPV = 73 651,98 − 80 000 = −€6 348,02

Resposta

NPV = −€6 348,02

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

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