Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €3 000 a uma taxa nominal de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 9 anos.

PV = €3 0003% / 12n = 9

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €50 no fim de cada mês durante 16 anos. A conta rende 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €504,2% / 12N = 192

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 8 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 241 quando o rendimento até o vencimento é 3,5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 8P = €1 241YTM = 3,5%

c = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 5%n = 6YTM = 2,5%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,75. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.

D/E = 0,75r_e = 10%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

As ações de uma empresa têm beta de 1 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,25. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 0,6. A alíquota de imposto é 30%, a taxa livre de risco 1% e o prêmio de risco de mercado 6,5%. Encontre o custo do capital próprio r_e após a mudança.

β_L = 1D/E₁ = 0,25D/E₂ = 0,6T = 30%r_f = 1%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €13 000, €6 000, €10 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 10%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 000CF₂ = 6 000CF₃ = 10 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um investimento de €40 000 retorna €7 000 no final de cada ano durante 9 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.

C₀ = €40 000CF = €7 000n = 9

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 3929 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·9 = 108

Valor futuro

FV = 3 000·(1 + 0,0025)¹⁰⁸ = 3 000·1,31 = €3 928,57

Resposta

FV = €3 928,57

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 13655 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·16 = 192

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,956 − 1)/0,0035 = €13 655,05

Resposta

FV = €13 655,05

Pôs €9 600 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 7,006 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,035)⁻⁸ = €759,41

Cupom

C = (1241 − 759,41)/6,874 = €70,06

Taxa de cupom

c = 70,06/1000 = 7,006%

Resposta

c = 7,006%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 5,377 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 50/1,025 = 48,78, t·PV = 48,78

t = 2: 50/1,051 = 47,59, t·PV = 95,18

t = 3: 50/1,077 = 46,43, t·PV = 139,29

t = 4: 50/1,104 = 45,30, t·PV = 181,19

t = 5: 50/1,131 = 44,19, t·PV = 220,96

t = 6: 1050/1,16 = 905,41, t·PV = 5 432,47

Duration

P = 1 137,70

D = 6 117,88/1 137,70 = 5,377

Resposta

D = 5,377 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,161 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos a partir de D/E

E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714

D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·10% + 0,4286·4,5%·(1 − 0,25) = 7,161%

Resposta

WACC = 7,161%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 8,855 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Desalavanque o beta

β_U = 1/(1 + 0,7·0,25) = 0,8511

Realavanque com o novo D/E

β_L = 0,8511·(1 + 0,7·0,6) = 1,209

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1% + 1,209·6,5% = 8,855%

Resposta

r_e = 8,855%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −5710 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 13 000/1,1 = 11 818,18

CF₂/(1 + 0,1)² = 6 000/1,21 = 4 958,68

CF₃/(1 + 0,1)³ = 10 000/1,331 = 7 513,15

Somar

NPV = €−5 709,99

Resposta

NPV = €−5 709,99

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 10,2 %

Fator de anuidade necessário

(1 − (1 + i)⁻⁹)/i = 40 000/7 000 = 5,714

Resolver para a taxa

O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.

i = 10%: 5,759

i = 11%: 5,537

IRR = 10,2%

Resposta

IRR = 10,2%

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