Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €5 000 a uma taxa nominal de 3,6 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 9 anos.

PV = €5 0003,6% / 4n = 9

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €8 000 é pago em prestações mensais iguais durante 4 anos. A taxa de juro é de 7,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.

P = €8 0007,2% / 12N = 48

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% e vence em 7 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5,5% para 6,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?

F = €1 000cupom = 2%n = 7y₁ = 5,5%y₂ = 6,5%

ΔP = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 10 anos e é vendido por €925. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 4%n = 10P = €925

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €12 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.

E = €12 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,1. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,4. A alíquota de imposto é 30%, a taxa livre de risco é 3,5% e o prêmio de risco de mercado é 7%. Encontre o custo do capital próprio r_e na nova estrutura de capital.

β_U = 1,1D/E = 0,4T = 30%r_f = 3,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Uma máquina custa €50 000 hoje, dura 7 anos e custa €2 000 por ano para operar (pagos no final de cada ano). O custo de capital é 12%. Encontre seu custo anual equivalente EAC.

C₀ = €50 000M = €2 000n = 7r = 12%

EAC = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €40 000 e devolve €25 500, €19 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −40 000CF₁ = 25 500CF₂ = 19 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 6903 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = m·n = 4·9 = 36

Valor futuro

FV = 5 000·(1 + 0,009)³⁶ = 5 000·1,381 = €6 903,22

Resposta

FV = €6 903,22

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 192,3 €

Taxa mensal e número de prestações

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·4 = 48

Prestação

O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.

(1 + i)^−N = 0,7504

A = 8 000·0,006/(1 − 0,7504) = €192,31

Resposta

A = €192,31

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: ΔP = −47,9 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço no rendimento antigo

C = €20,00, i = 0,055, N = 7

€20,00·(1 − 0,6874)/0,055 + €1 000·0,6874 = €113,66 + €687,44 = €801,10

Preço no rendimento novo

C = €20,00, i = 0,065, N = 7

€20,00·(1 − 0,6435)/0,065 + €1 000·0,6435 = €109,69 + €643,51 = €753,20

Variação

ΔP = 753,20 − 801,10 = −€47,90

Resposta

ΔP = −€47,90

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 4,97 %

Equação do rendimento

€925 = €40·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Resolva numericamente

P(4%) = €1 000,00, P(5%) = €922,78

YTM = 4,97%

Resposta

YTM = 4,97%

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,72 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·8% + 0,25·4%·(1 − 0,28) = 6,72%

Resposta

WACC = 6,72%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 13,36 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Beta alavancado

β_L = 1,1·(1 + 0,7·0,4) = 1,408

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,408·7% = 13,36%

Resposta

r_e = 13,36%

7.VAL e TIR

Resposta: EAC = 12956 €

Custo anual equivalente: distribua o valor presente de todos os custos ao longo da vida como um valor anual igual (uma anuidade): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Isso permite comparar máquinas com vidas diferentes.

Fator de anuidade

(1 − 1,12⁻⁷)/0,12 = 4,564

Preço de compra anualizado

50 000/4,564 = 10 955,89

EAC

EAC = 10 955,89 + 2 000 = €12 955,89

Resposta

EAC = €12 955,89

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 7,809 %

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(5%) = 1 519,27

NPV(10%) = −1 115,70

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 5 + 5·1 519,27/(1 519,27 − (−1 115,70)) = 7,883%

exato: NPV(7,809%) = 0 → IRR = 7,809%

Resposta

IRR = 7,809%

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