Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 18% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 18%m = 12

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €100 no fim de cada mês durante 10 anos. A conta rende 4,2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €1004,2% / 12N = 120

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4,5% e vence em 13 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 6% para 5,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?

F = €1 000cupom = 4,5%n = 13y₁ = 6%y₂ = 5,5%

ΔP = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 3% vence em 10 anos e é vendido por €880. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 3%n = 10P = €880

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €5 000 000, ações preferenciais no valor de €1 000 000 e dívida no valor de €5 000 000. O custo do capital próprio é 10%, o custo das ações preferenciais 7,5% e o custo da dívida antes dos impostos 4,5%. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_p = 7,5%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

As ações de uma empresa têm beta de 0,9 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,4. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 0,6. A alíquota de imposto é 21%, a taxa livre de risco 4% e o prêmio de risco de mercado 5%. Encontre o custo do capital próprio r_e após a mudança.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,4D/E₂ = 0,6T = 21%r_f = 4%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €100 000 hoje. Ele gera €11 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 2% ao ano para sempre. O custo de capital é 11%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €11 000g = 2%r = 11%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €50 000 e devolve €31 000, €22 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −50 000CF₁ = 31 000CF₂ = 22 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 19,56 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,18/12 = 0,015

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,015)¹² − 1 = 1,196 − 1 = 19,56%

Resposta

EAR = 19,56%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 14881 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·10 = 120

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1,521 − 1)/0,0035 = €14 881,31

Resposta

FV = €14 881,31

Pôs €12 000 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: ΔP = 41,62 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço no rendimento antigo

C = €45,00, i = 0,06, N = 13

€45,00·(1 − 0,4688)/0,06 + €1 000·0,4688 = €398,37 + €468,84 = €867,21

Preço no rendimento novo

C = €45,00, i = 0,055, N = 13

€45,00·(1 − 0,4986)/0,055 + €1 000·0,4986 = €410,27 + €498,56 = €908,83

Variação

ΔP = 908,83 − 867,21 = €41,62

Resposta

ΔP = €41,62

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 4,518 %

Equação do rendimento

€880 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Resolva numericamente

P(4%) = €918,89, P(5%) = €845,57

YTM = 4,518%

Resposta

YTM = 4,518%

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,761 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €11 000 000

E/V = 0,4545, P_s/V = 0,09091, D/V = 0,4545

WACC

WACC = 0,4545·10% + 0,09091·7,5% + 0,4545·4,5%·(1 − 0,25) = 6,761%

Resposta

WACC = 6,761%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 9,04 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Desalavanque o beta

β_U = 0,9/(1 + 0,79·0,4) = 0,6839

Realavanque com o novo D/E

β_L = 0,6839·(1 + 0,79·0,6) = 1,008

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 4% + 1,008·5% = 9,04%

Resposta

r_e = 9,04%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 22222 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor dos fluxos de caixa

PV = 11 000/(0,11 − 0,02) = 122 222,22

NPV

NPV = 122 222,22 − 100 000 = €22 222,22

Resposta

NPV = €22 222,22

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 4,899 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(0%) = 3 500,00

NPV(5%) = −68,03

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 0 + 5·3 500,00/(3 500,00 − (−68,03)) = 4,905%

exato: NPV(4,899%) = 0 → IRR = 4,899%

Resposta

IRR = 4,899%

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