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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 15% ao ano, capitalizada diária. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 15%m = 365
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €5 000 a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €125 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €5 000A = €1252,4% / 12
N = pagamentos
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 12 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) quando seu rendimento até o vencimento é 2,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 3%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 12y0 = 2,5%y1 = 3%
HPR = %
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 10 anos e é vendido por €1 125. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 10P = €1 125
YTM = %
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.
E = €2 000 000D = €6 000 000re = 8%rd = 7%T = 30%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifícil
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 1,5. A alíquota de imposto é 25%, a taxa livre de risco é 2% e o prêmio de risco de mercado é 4,5%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 1D/E = 1,5T = 25%rf = 2%rm − rf = 4,5%
re = %
7.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €13 000, €10 000, €10 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €9 000, €16 000, €18 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 9 000CF2 = 16 000CF3 = 18 000
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 16,18 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,15/365 = 0,000411
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,000411)365 − 1 = 1,162 − 1 = 16,18%
Resposta
EAR = 16,18%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 42 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0,002/125 = 0,92
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,92)/ln(1,002) = 41,73
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
41 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 42
Resposta
N = 42 pagamentos
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = −1,471 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·8% + 0,75·7%·(1 − 0,3) = 5,675%
Resposta
WACC = 5,675%
6.CAPM e WACC
Resposta: re = 11,56 %
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 1·(1 + 0,75·1,5) = 2,125
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2% + 2,125·4,5% = 11,56%
Resposta
re = 11,56%
7.VAL e TIR
Resposta: NPV = −15953 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 13 000/1,07 = 12 149,53
CF2/(1 + 0,07)2 = 10 000/1,145 = 8 734,39
CF3/(1 + 0,07)3 = 10 000/1,225 = 8 162,98
Somar
NPV = €−15 953,10
Resposta
NPV = €−15 953,10
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 28,94 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(25%) = 1 656,00
NPV(30%) = −416,48
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.