Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 25% ao ano, capitalizada mensalmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 25%m = 12

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €150 no fim de cada mês durante 8 anos. A conta rende 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €1502,4% / 12N = 96

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 2% em dois pagamentos semestrais e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é de 9% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 2%YTM = 9%n = 5

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é 3,5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 5%n = 4YTM = 3,5%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma ação com beta de 1,4 tem retorno exigido de 9,7%. A taxa livre de risco é 2%. Que retorno esperado do mercado r_m o CAPM implica?

β = 1,4r_e = 9,7%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM e WACCDifícil

O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 1,2. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,6. A alíquota de imposto é 28%, a taxa livre de risco é 3,5% e o prêmio de risco de mercado é 7%. Encontre o custo do capital próprio r_e na nova estrutura de capital.

β_U = 1,2D/E = 0,6T = 28%r_f = 3,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €250 000 hoje. Ele gera €30 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 1% ao ano para sempre. O custo de capital é 12%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €250 000CF₁ = €30 000g = 1%r = 12%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €50 000 e devolve €33 500, €33 000, €34 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −50 000CF₁ = 33 500CF₂ = 33 000CF₃ = 34 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 28,07 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,25/12 = 0,02083

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,02083)¹² − 1 = 1,281 − 1 = 28,07%

Resposta

EAR = 28,07%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 15858 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·8 = 96

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1,211 − 1)/0,002 = €15 857,87

Resposta

FV = €15 857,87

Pôs €14 400 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 723,1 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €10,00, i = 0,045, N = 10

Valor presente dos cupons

€10,00·(1 − 0,6439)/0,045 = €79,13

Valor presente do valor de face

€1 000·0,6439 = €643,93

Preço

P = €723,05

Resposta

P = €723,05

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 3,731 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 50/1,035 = 48,31, t·PV = 48,31

t = 2: 50/1,071 = 46,68, t·PV = 93,35

t = 3: 50/1,109 = 45,10, t·PV = 135,29

t = 4: 1050/1,148 = 915,01, t·PV = 3 660,06

Duration

P = 1 055,10

D = 3 937,01/1 055,10 = 3,731

Resposta

D = 3,731 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: r_m = 7,5 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Prêmio de risco de mercado

r_m − r_f = (9,7% − 2%)/1,4 = 5,5%

Retorno do mercado

r_m = 2% + 5,5% = 7,5%

Resposta

r_m = 7,5%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 15,53 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Beta alavancado

β_L = 1,2·(1 + 0,72·0,6) = 1,718

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,718·7% = 15,53%

Resposta

r_e = 15,53%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 22727 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor dos fluxos de caixa

PV = 30 000/(0,12 − 0,01) = 272 727,27

NPV

NPV = 272 727,27 − 250 000 = €22 727,27

Resposta

NPV = €22 727,27

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 45,19 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(45%) = 115,63

NPV(50%) = −2 777,78

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 45 + 5·115,63/(115,63 − (−2 777,78)) = 45,2%

exato: NPV(45,19%) = 0 → IRR = 45,19%

Resposta

IRR = 45,19%

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