Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Uma anuidade paga €1 000 no final de cada ano durante 18 anos. A taxa de juros é 6% ao ano. Encontre o valor presente PV da anuidade.

A = €1 000i = 6%n = 18

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você toma emprestado €12 000 a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €250 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.

P = €12 000A = €2507,2% / 12

N = pagamentos

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. O rendimento até o vencimento é de 5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 6%YTM = 5%n = 8

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 7% vence em 5 anos e é vendido por €920. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 7%n = 5P = €920

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €2 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 25%. Calcule o WACC.

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 13%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 1 000 000 ações a €41,50 cada e 40 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 1% e o retorno do mercado é 7,5%. Calcule o WACC.

β = 1,2r_f = 1%r_m = 7,5%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €12 000, €21 000, €13 000, €17 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 21 000CF₃ = 13 000CF₄ = 17 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €40 000 e devolve €30 000, €22 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −40 000CF₁ = 30 000CF₂ = 22 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 10828 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Fator de anuidade

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3503)/0,06 = 10,83

Valor atual

PV = 1 000·10,83 = €10 827,60

Resposta

PV = €10 827,60

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: N = 57 pagamentos

Reorganize a fórmula da anuidade

i = 0,006

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,006/250 = 0,712

Resolver com logaritmos

N = −ln(0,712)/ln(1,006) = 56,78

Arredonde para cima até pagamentos inteiros

56 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.

N = 57

Resposta

N = 57 pagamentos

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1065 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €30,00, i = 0,025, N = 16

Valor presente dos cupons

€30,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €391,65

Valor presente do valor de face

€1 000·0,6736 = €673,62

Preço

P = €1 065,28

Resposta

P = €1 065,28

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 9,06 %

Equação do rendimento

€920 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Resolva numericamente

P(9%) = €922,21, P(10%) = €886,28

YTM = 9,06%

Resposta

YTM = 9,06%

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 11,06 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

WACC

WACC = 0,75·13% + 0,25·7%·(1 − 0,25) = 11,06%

Resposta

WACC = 11,06%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,637 %

Valores de mercado

E = 1 000 000·€41,50 = €41 500 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1% + 1,2·6,5% = 8,8%

Pesos

V = €83 500 000, E/V = 0,497, D/V = 0,503

WACC

WACC = 0,497·8,8% + 0,503·6%·(1 − 0,25) = 6,637%

Resposta

WACC = 6,637%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 5766 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 12 000/1,09 = 11 009,17

CF₂/(1 + 0,09)² = 21 000/1,188 = 17 675,28

CF₃/(1 + 0,09)³ = 13 000/1,295 = 10 038,39

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 17 000/1,412 = 12 043,23

Somar

NPV = €5 766,07

Resposta

NPV = €5 766,07

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 20,6 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(20%) = 277,78

NPV(25%) = −1 920,00

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 20 + 5·277,78/(277,78 − (−1 920,00)) = 20,63%

exato: NPV(20,6%) = 0 → IRR = 20,6%

Resposta

IRR = 20,6%

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