Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €15 000 daqui a 9 anos. Uma conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €15 0004,8% / 12n = 9

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais durante 5 anos. A taxa de juro é de 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.

P = €20 0003,6% / 12N = 60

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 12 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 6%YTM = 2,5%n = 12

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 6%n = 3YTM = 2,5%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €5 000 000, ações preferenciais no valor de €1 000 000 e dívida no valor de €5 000 000. O custo do capital próprio é 10%, o custo das ações preferenciais 7,5% e o custo da dívida antes dos impostos 5%. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_p = 7,5%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 1 000 000 ações a €37,00 cada e 5 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 4% e o retorno do mercado é 10%. Calcule o WACC.

β = 1,2r_f = 4%r_m = 10%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €8 000, €9 000, €8 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 9 000CF₃ = 8 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €40 000 e devolve €27 000, €21 500, €25 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −40 000CF₁ = 27 000CF₂ = 21 500CF₃ = 25 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 9747 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·9 = 108

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,539 = €9 746,54

Resposta

PV = €9 746,54

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 364,7 €

Taxa mensal e número de prestações

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·5 = 60

Prestação

O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.

(1 + i)^−N = 0,8355

A = 20 000·0,003/(1 − 0,8355) = €364,73

Resposta

A = €364,73

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1361 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €30,00, i = 0,0125, N = 24

Valor presente dos cupons

€30,00·(1 − 0,7422)/0,0125 = €618,73

Valor presente do valor de face

€1 000·0,7422 = €742,20

Preço

P = €1 360,92

Resposta

P = €1 360,92

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 2,842 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 60/1,025 = 58,54, t·PV = 58,54

t = 2: 60/1,051 = 57,11, t·PV = 114,22

t = 3: 1060/1,077 = 984,32, t·PV = 2 952,95

Duration

P = 1 099,96

D = 3 125,70/1 099,96 = 2,842

Resposta

D = 2,842 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,914 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €11 000 000

E/V = 0,4545, P_s/V = 0,09091, D/V = 0,4545

WACC

WACC = 0,4545·10% + 0,09091·7,5% + 0,4545·5%·(1 − 0,258) = 6,914%

Resposta

WACC = 6,914%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 10,13 %

Valores de mercado

E = 1 000 000·€37,00 = €37 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 4% + 1,2·6% = 11,2%

Pesos

V = €42 100 000, E/V = 0,8789, D/V = 0,1211

WACC

WACC = 0,8789·11,2% + 0,1211·3%·(1 − 0,21) = 10,13%

Resposta

WACC = 10,13%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −978,1 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 8 000/1,15 = 6 956,52

CF₂/(1 + 0,15)² = 9 000/1,322 = 6 805,29

CF₃/(1 + 0,15)³ = 8 000/1,521 = 5 260,13

Somar

NPV = €−978,06

Resposta

NPV = €−978,06

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 39,09 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(35%) = 2 161,26

NPV(40%) = −451,90

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 35 + 5·2 161,26/(2 161,26 − (−451,90)) = 39,14%

exato: NPV(39,09%) = 0 → IRR = 39,09%

Resposta

IRR = 39,09%

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