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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Investe €8 000 a uma taxa nominal de 3,6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 7 anos.
PV = €8 0003,6% / 12n = 7
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €10 000 a 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €225 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €10 000A = €2253,6% / 12
N = pagamentos
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 15 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 2,5% para 1%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 6%n = 15y1 = 2,5%y2 = 1%
ΔP = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 5% vence em 7 anos e é vendido por €945. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 7P = €945
YTM = %
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €12 000 000 e dívida de €5 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem 5 000 000 ações a €21,00 cada e 40 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25,8%. O beta da ação é 0,9, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 9,5%. Calcule o WACC.
β = 0,9rf = 2,5%rm = 9,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
7.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €60 000 hoje e retorna €15 000 no final de cada ano durante 6 anos. O custo de capital é 12%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €25 000 e devolve €16 000, €14 500, €16 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 14 500CF3 = 16 000
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 10289 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,003/225 = 0,8667
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,8667)/ln(1,003) = 47,77
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
47 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 48
Resposta
N = 48 pagamentos
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 259,9 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€945 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Resolva numericamente
P(5%) = €1 000,00, P(6%) = €944,18
YTM = 5,985%
Resposta
YTM = 5,985%
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 10,11 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941
WACC
WACC = 0,7059·13% + 0,2941·4%·(1 − 0,21) = 10,11%
Resposta
WACC = 10,11%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,134 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 15 000/1,12 = 13 392,86 → Σ = 13 392,86
ano 2: 15 000/1,254 = 11 957,91 → Σ = 25 350,77
ano 3: 15 000/1,405 = 10 676,70 → Σ = 36 027,47
ano 4: 15 000/1,574 = 9 532,77 → Σ = 45 560,24
ano 5: 15 000/1,762 = 8 511,40 → Σ = 54 071,64
ano 6: 15 000/1,974 = 7 599,47 → Σ = 61 671,11
Fração do último ano
DPB = 5 + 5 928,36/7 599,47 = 5,78
Resposta
DPB = 5,78 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (4 anos).
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 38,92 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(35%) = 1 311,03
NPV(40%) = −342,57
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.