Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.
1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €15 000 daqui a 2 anos. Uma conta rende 2 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €15 0002% / 4n = 2
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais durante 4 anos. A taxa de juro é de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €20 0003% / 12N = 48
A = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 6 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 4%) quando seu rendimento até o vencimento é 5,5%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 6y0 = 5,5%y1 = 5%
HPR = %
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 3%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 6%n = 5YTM = 3%
D = anos
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio no valor de €4 000 000 e dívida no valor de €5 000 000. Seu WACC é 6,39%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 30%. Encontre o custo do capital próprio re.
Uma empresa tem 4 000 000 ações negociadas a €58,00; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €139 200 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,90 por ação, e os dividendos crescem 2% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €139 200 000 e custo antes dos impostos de 6%. A alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um projeto custa €250 000 hoje. Ele gera €14 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 2% ao ano para sempre. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €250 000CF1 = €14 000g = 2%r = 8%
NPV = €
8.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €25 000 e devolve €12 500, €17 000, €14 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 12 500CF2 = 17 000CF3 = 14 000
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 14413 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·2 = 8
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,041 = €14 413,28
Resposta
PV = €14 413,28
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 442,7 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,8871
A = 20 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €442,69
Resposta
A = €442,69
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: HPR = 7,744 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 60/1,03 = 58,25, t·PV = 58,25
t = 2: 60/1,061 = 56,56, t·PV = 113,11
t = 3: 60/1,093 = 54,91, t·PV = 164,73
t = 4: 60/1,126 = 53,31, t·PV = 213,24
t = 5: 1060/1,159 = 914,37, t·PV = 4 571,83
Duration
P = 1 137,39
D = 5 121,15/1 137,39 = 4,503
Resposta
D = 4,503 anos
5.CAPM e WACC
Resposta: re = 10 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
Parte da dívida no WACC
0,5556·5%·(1 − 0,3) = 1,944%
Custo do capital próprio
re = (6,39% − 1,944%)/0,4444 = 10%
Resposta
re = 10%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,237 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo do capital próprio
D1 = 2,9·1,02 = €2,96
re = 2,958/58 + 0,02 = 7,1%
Valores de mercado
E = 4 000 000·€58,00 = €232 000 000
V = €371 200 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·7,1% + 0,375·6%·(1 − 0,2) = 6,237%
Resposta
WACC = 6,237%
7.VAL e TIR
Resposta: NPV = −16667 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 14 000/(0,08 − 0,02) = 233 333,33
NPV
NPV = 233 333,33 − 250 000 = −€16 666,67
Resposta
NPV = −€16 666,67
O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 32,88 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(30%) = 1 046,88
NPV(35%) = −722,70
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.