Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Você investe €20 000 a 7% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 2 anos.

PV = €20 000r = 7%t = 2

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €10 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 6 anos a 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €10 0003,6% / 12N = 72

I = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 5% e vence em 4 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 4% para 2,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?

F = €1 000cupom = 5%n = 4y₁ = 4%y₂ = 2,5%

ΔP = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título é negociado a €1 070 com rendimento até o vencimento de 5% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 10,2 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 100 pontos-base.

P₀ = €1 070y = 5%D = 10,2Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €6 000 000 e dívida de €6 000 000. Seu custo do capital próprio é 13%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 30%. Calcule o WACC.

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 13%r_d = 4,5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €6 000 000 e custo do capital próprio de 14%. Sua dívida consiste em 5 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 5%, 8 anos até o vencimento) negociados a €1 067 cada. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €6 000 000r_e = 14%títulos: 5 000 × €1 067cupom = 5%n = 8T = 25%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €36 000, €32 000, €21 000, €27 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 36 000CF₂ = 32 000CF₃ = 21 000CF₄ = 27 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €40 000 e devolve €21 500, €27 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −40 000CF₁ = 21 500CF₂ = 27 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 23005 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Expoente

r·t = 0,07·2 = 0,14

e^0,14 = 1,15

Valor futuro

FV = 20 000·1,15 = €23 005,48

Resposta

FV = €23 005,48

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 1134 €

Prestação mensal

i = 0,003, N = 72

A = 10 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻⁷²) = €154,64

Juros totais

I = N·A − P = 72·154,6 − 10 000 = €1 133,78

Resposta

I = €1 133,78

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: ΔP = 57,75 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço no rendimento antigo

C = €50,00, i = 0,04, N = 4

€50,00·(1 − 0,8548)/0,04 + €1 000·0,8548 = €181,49 + €854,80 = €1 036,30

Preço no rendimento novo

C = €50,00, i = 0,025, N = 4

€50,00·(1 − 0,906)/0,025 + €1 000·0,906 = €188,10 + €905,95 = €1 094,05

Variação

ΔP = 1 094,05 − 1 036,30 = €57,75

Resposta

ΔP = €57,75

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 966,1 €

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modificada

D_mod = 10,2/1,05 = 9,714

Variação estimada do preço

%ΔP ≈ −9,714·(0,01) = −9,714%

P ≈ 1070·(1 − 0,09714) = €966,06

Resposta

P = €966,06

A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,075 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·13% + 0,5·4,5%·(1 − 0,3) = 8,075%

Resposta

WACC = 8,075%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,824 %

Custo da dívida (YTM)

1067 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + 1000/(1 + y)⁸

y = 4,005%

Valores de mercado

D = 5 000·€1 067 = €5 335 000

V = €11 335 000, E/V = 0,5293, D/V = 0,4707

WACC

WACC = 0,5293·14% + 0,4707·4,005%·(1 − 0,25) = 8,824%

Resposta

WACC = 8,824%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 9746 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 36 000/1,15 = 31 304,35

CF₂/(1 + 0,15)² = 32 000/1,322 = 24 196,60

CF₃/(1 + 0,15)³ = 21 000/1,521 = 13 807,84

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 27 000/1,749 = 15 437,34

Somar

NPV = €9 746,12

Resposta

NPV = €9 746,12

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 14,04 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(10%) = 2 272,73

NPV(15%) = −510,40

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 10 + 5·2 272,73/(2 272,73 − (−510,40)) = 14,08%

exato: NPV(14,04%) = 0 → IRR = 14,04%

Resposta

IRR = 14,04%

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