Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €10 000 daqui a 4 anos. Uma conta rende 3,6 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €10 0003,6% / 4n = 4

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €150 no fim de cada mês durante 22 anos. A conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €1504,8% / 12N = 264

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% e vence em 4 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 8% para 8,5%. Quanto ΔP varia o preço do título?

F = €1 000cupom = 7%n = 4y₁ = 8%y₂ = 8,5%

ΔP = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 9%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 8%n = 5YTM = 9%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 11%, seu custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 28%. Calcule o WACC.

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 0,6. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,4. A alíquota de imposto é 30%, a taxa livre de risco é 1,5% e o prêmio de risco de mercado é 6%. Encontre o custo do capital próprio r_e na nova estrutura de capital.

β_U = 0,6D/E = 0,4T = 30%r_f = 1,5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €30 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €10 000, €13 000, €12 000, €12 000. O custo do capital é de 15 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 13 000CF₃ = 12 000CF₄ = 12 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €20 000 e devolve €14 000, €15 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 000CF₂ = 15 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 8664 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·4 = 16

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,154 = €8 664,46

Resposta

PV = €8 664,46

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 70080 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·22 = 264

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2,869 − 1)/0,004 = €70 079,98

Resposta

FV = €70 079,98

Pôs €39 600 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: ΔP = −16,01 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço no rendimento antigo

C = €70,00, i = 0,08, N = 4

€70,00·(1 − 0,735)/0,08 + €1 000·0,735 = €231,85 + €735,03 = €966,88

Preço no rendimento novo

C = €70,00, i = 0,085, N = 4

€70,00·(1 − 0,7216)/0,085 + €1 000·0,7216 = €229,29 + €721,57 = €950,87

Variação

ΔP = 950,87 − 966,88 = −€16,01

Resposta

ΔP = −€16,01

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 4,297 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 80/1,09 = 73,39, t·PV = 73,39

t = 2: 80/1,188 = 67,33, t·PV = 134,67

t = 3: 80/1,295 = 61,77, t·PV = 185,32

t = 4: 80/1,412 = 56,67, t·PV = 226,70

t = 5: 1080/1,539 = 701,93, t·PV = 3 509,63

Duration

P = 961,10

D = 4 129,71/961,10 = 4,297

Resposta

D = 4,297 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,351 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·11% + 0,4444·7%·(1 − 0,28) = 8,351%

Resposta

WACC = 8,351%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 6,108 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Beta alavancado

β_L = 0,6·(1 + 0,7·0,4) = 0,768

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,768·6% = 6,108%

Resposta

r_e = 6,108%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 3277 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 10 000/1,15 = 8 695,65

CF₂/(1 + 0,15)² = 13 000/1,322 = 9 829,87

CF₃/(1 + 0,15)³ = 12 000/1,521 = 7 890,19

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 12 000/1,749 = 6 861,04

Somar

NPV = €3 276,75

Resposta

NPV = €3 276,75

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 28,41 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(25%) = 800,00

NPV(30%) = −355,03

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 25 + 5·800,00/(800,00 − (−355,03)) = 28,46%

exato: NPV(28,41%) = 0 → IRR = 28,41%

Resposta

IRR = 28,41%

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