Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Você investe €5 000 a 6% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 19 anos.

PV = €5 000r = 6%t = 19

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €12 000 é pago em prestações mensais iguais durante 4 anos. A taxa de juro é de 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.

P = €12 0003% / 12N = 48

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 8% e vence em 15 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 5% para 7%. Quanto ΔP varia o preço do título?

F = €1 000cupom = 8%n = 15y₁ = 5%y₂ = 7%

ΔP = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 6%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 3%n = 5YTM = 6%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio de €5 000 000 e dívida de €4 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 21%. Calcule o WACC.

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 10%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 1 000 000 ações a €58,50 cada e 20 000 títulos negociados a €1 020 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 1,1, a taxa livre de risco é 3,5% e o retorno do mercado é 8,5%. Calcule o WACC.

β = 1,1r_f = 3,5%r_m = 8,5%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €17 000, €21 000, €21 000. O custo do capital é de 12 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 21 000CF₃ = 21 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €25 000 e devolve €11 500, €16 000, €17 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 16 000CF₃ = 17 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 15634 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Expoente

r·t = 0,06·19 = 1,14

e^1,14 = 3,127

Valor futuro

FV = 5 000·3,127 = €15 633,84

Resposta

FV = €15 633,84

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 265,6 €

Taxa mensal e número de prestações

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·4 = 48

Prestação

O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.

(1 + i)^−N = 0,8871

A = 12 000·0,0025/(1 − 0,8871) = €265,61

Resposta

A = €265,61

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: ΔP = −220,3 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço no rendimento antigo

C = €80,00, i = 0,05, N = 15

€80,00·(1 − 0,481)/0,05 + €1 000·0,481 = €830,37 + €481,02 = €1 311,39

Preço no rendimento novo

C = €80,00, i = 0,07, N = 15

€80,00·(1 − 0,3624)/0,07 + €1 000·0,3624 = €728,63 + €362,45 = €1 091,08

Variação

ΔP = 1 091,08 − 1 311,39 = −€220,31

Resposta

ΔP = −€220,31

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 4,694 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 30/1,06 = 28,30, t·PV = 28,30

t = 2: 30/1,124 = 26,70, t·PV = 53,40

t = 3: 30/1,191 = 25,19, t·PV = 75,57

t = 4: 30/1,262 = 23,76, t·PV = 95,05

t = 5: 1030/1,338 = 769,68, t·PV = 3 848,38

Duration

P = 873,63

D = 4 100,70/873,63 = 4,694

Resposta

D = 4,694 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 6,609 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €9 000 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·10% + 0,4444·3%·(1 − 0,21) = 6,609%

Resposta

WACC = 6,609%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,449 %

Valores de mercado

E = 1 000 000·€58,50 = €58 500 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,1·5% = 9%

Pesos

V = €78 900 000, E/V = 0,7414, D/V = 0,2586

WACC

WACC = 0,7414·9% + 0,2586·4%·(1 − 0,25) = 7,449%

Resposta

WACC = 7,449%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 1867 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 17 000/1,12 = 15 178,57

CF₂/(1 + 0,12)² = 21 000/1,254 = 16 741,07

CF₃/(1 + 0,12)³ = 21 000/1,405 = 14 947,39

Somar

NPV = €1 867,03

Resposta

NPV = €1 867,03

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 33,35 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(30%) = 1 279,02

NPV(35%) = −589,60

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 30 + 5·1 279,02/(1 279,02 − (−589,60)) = 33,42%

exato: NPV(33,35%) = 0 → IRR = 33,35%

Resposta

IRR = 33,35%

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