Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €15 000 daqui a 7 anos. Uma conta rende 2 % ao ano, capitalizada trimestralmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €15 0002% / 4n = 7

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você toma emprestado €15 000 a 3,6% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €225 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.

P = €15 000A = €2253,6% / 12

N = pagamentos

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Você compra um título com 10 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 3%) quando seu rendimento até o vencimento é 9%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 9,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.

F = €1 000cupom = 3%n = 10y₀ = 9%y₁ = 9,5%

HPR = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 3 anos e é vendido por €935. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.

F = €1 000cupom = 6%n = 3P = €935

YTM = %

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio no valor de €3 000 000 e dívida no valor de €2 000 000. Seu WACC é 8,66%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 28%. Encontre o custo do capital próprio r_e.

E = €3 000 000D = €2 000 000WACC = 8,66%r_d = 3%T = 28%

r_e = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 1 000 000 ações a €31,50 cada e 5 000 títulos negociados a €980 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 7% e a alíquota de imposto é 20%. O beta da ação é 0,6, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.

β = 0,6r_f = 2,5%r_m = 7%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €7 000, €7 000, €9 000, €10 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000CF₃ = 9 000CF₄ = 10 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um investimento de €20 000 retorna €6 000 no final de cada ano durante 6 anos. Encontre sua taxa interna de retorno IRR em porcentagem.

C₀ = €20 000CF = €6 000n = 6

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 13045 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,02/4 = 0,005

N = 4·7 = 28

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,15 = €13 044,92

Resposta

PV = €13 044,92

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: N = 75 pagamentos

Reorganize a fórmula da anuidade

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,003/225 = 0,8

Resolver com logaritmos

N = −ln(0,8)/ln(1,003) = 74,49

Arredonde para cima até pagamentos inteiros

74 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.

N = 75

Resposta

N = 75 pagamentos

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: HPR = 5,393 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Preço de compra

C = €30,00, i = 0,09, N = 10

€30,00·(1 − 0,4224)/0,09 + €1 000·0,4224 = €192,53 + €422,41 = €614,94

Preço de venda

C = €30,00, i = 0,095, N = 9

€30,00·(1 − 0,4418)/0,095 + €1 000·0,4418 = €176,26 + €441,85 = €618,11

Retorno no período de posse

HPR = (30 + 618,11 − 614,94)/614,94 = 5,393%

Resposta

HPR = 5,393%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: YTM = 8,547 %

Equação do rendimento

€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Resolva numericamente

P(8%) = €948,46, P(9%) = €924,06

YTM = 8,547%

Resposta

YTM = 8,547%

5.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 12,99 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

Parte da dívida no WACC

0,4·3%·(1 − 0,28) = 0,864%

Custo do capital próprio

r_e = (8,66% − 0,864%)/0,6 = 12,99%

Resposta

r_e = 12,99%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 5,254 %

Valores de mercado

E = 1 000 000·€31,50 = €31 500 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,6·4,5% = 5,2%

Pesos

V = €36 400 000, E/V = 0,8654, D/V = 0,1346

WACC

WACC = 0,8654·5,2% + 0,1346·7%·(1 − 0,2) = 5,254%

Resposta

WACC = 5,254%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 6348 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 7 000/1,09 = 6 422,02

CF₂/(1 + 0,09)² = 7 000/1,188 = 5 891,76

CF₃/(1 + 0,09)³ = 9 000/1,295 = 6 949,65

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 10 000/1,412 = 7 084,25

Somar

NPV = €6 347,68

Resposta

NPV = €6 347,68

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 19,91 %

Fator de anuidade necessário

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 20 000/6 000 = 3,333

Resolver para a taxa

O fator de anuidade diminui quando a taxa aumenta; delimite a taxa e vá estreitando o intervalo.

i = 19%: 3,41

i = 20%: 3,326

IRR = 19,91%

Resposta

IRR = 19,91%

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