Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Você investe €10 000 a 8% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 6 anos.

PV = €10 000r = 8%t = 6

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €200 000 é pago em prestações mensais iguais durante 30 anos. A taxa de juro é de 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.

P = €200 0006% / 12N = 360

A = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 7% em dois pagamentos semestrais e vence em 9 anos. O rendimento até o vencimento é de 9% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 7%YTM = 9%n = 9

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 3% e vence em 4 anos. O rendimento até o vencimento é 4%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 3%n = 4YTM = 4%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €6 000 000, ações preferenciais no valor de €500 000 e dívida no valor de €4 000 000. O custo do capital próprio é 12%, o custo das ações preferenciais 8% e o custo da dívida antes dos impostos 4%. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC.

E = €6 000 000P_s = €500 000D = €4 000 000r_e = 12%r_p = 8%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €12 000 000 e custo do capital próprio de 12%. Sua dívida consiste em 5 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 6%, 5 anos até o vencimento) negociados a €1 021 cada. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €12 000 000r_e = 12%títulos: 5 000 × €1 021cupom = 6%n = 5T = 30%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €5 000, €7 000, €9 000, €7 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000CF₃ = 9 000CF₄ = 7 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €20 000 e devolve €9 500, €12 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 12 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 16161 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Expoente

r·t = 0,08·6 = 0,48

e^0,48 = 1,616

Valor futuro

FV = 10 000·1,616 = €16 160,74

Resposta

FV = €16 160,74

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: A = 1199 €

Taxa mensal e número de prestações

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·30 = 360

Prestação

O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.

(1 + i)^−N = 0,166

A = 200 000·0,005/(1 − 0,166) = €1 199,10

Resposta

A = €1 199,10

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 878,4 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €35,00, i = 0,045, N = 18

Valor presente dos cupons

€35,00·(1 − 0,4528)/0,045 = €425,60

Valor presente do valor de face

€1 000·0,4528 = €452,80

Preço

P = €878,40

Resposta

P = €878,40

O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 3,825 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 30/1,04 = 28,85, t·PV = 28,85

t = 2: 30/1,082 = 27,74, t·PV = 55,47

t = 3: 30/1,125 = 26,67, t·PV = 80,01

t = 4: 1030/1,17 = 880,45, t·PV = 3 521,79

Duration

P = 963,70

D = 3 686,12/963,70 = 3,825

Resposta

D = 3,825 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 8,305 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = 6 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €10 500 000

E/V = 0,5714, P_s/V = 0,04762, D/V = 0,381

WACC

WACC = 0,5714·12% + 0,04762·8% + 0,381·4%·(1 − 0,3) = 8,305%

Resposta

WACC = 8,305%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 9,569 %

Custo da dívida (YTM)

1021 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 5,508%

Valores de mercado

D = 5 000·€1 021 = €5 105 000

V = €17 105 000, E/V = 0,7015, D/V = 0,2985

WACC

WACC = 0,7015·12% + 0,2985·5,508%·(1 − 0,3) = 9,569%

Resposta

WACC = 9,569%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 1874 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 5 000/1,1 = 4 545,45

CF₂/(1 + 0,1)² = 7 000/1,21 = 5 785,12

CF₃/(1 + 0,1)³ = 9 000/1,331 = 6 761,83

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 7 000/1,464 = 4 781,09

Somar

NPV = €1 873,51

Resposta

NPV = €1 873,51

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 4,769 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(0%) = 1 500,00

NPV(5%) = −68,03

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 0 + 5·1 500,00/(1 500,00 − (−68,03)) = 4,783%

exato: NPV(4,769%) = 0 → IRR = 4,769%

Resposta

IRR = 4,769%

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