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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Você investe €2 000 a 3% ao ano com capitalização contínua. Encontre o valor FV após 7 anos.
PV = €2 000r = 3%t = 7
FV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você toma emprestado €8 000 a 2,4% ao ano, capitalizados mensalmente, e paga €100 no final de cada mês. Quantos meses leva até o empréstimo ser quitado (o último pagamento pode ser menor)? Dê o número de pagamentos N.
P = €8 000A = €1002,4% / 12
N = pagamentos
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 4% e vence em 15 anos. Seu rendimento até o vencimento muda de 3,5% para 2%. Quanto ΔP varia o preço do título?
F = €1 000cupom = 4%n = 15y1 = 3,5%y2 = 2%
ΔP = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 6% vence em 4 anos e é vendido por €1 075. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%n = 4P = €1 075
YTM = %
5.CAPM e WACCMédia
Uma ação com beta de 1,4 tem retorno exigido de 10,8%. A taxa livre de risco é 1%. Que retorno esperado do mercado rm o CAPM implica?
β = 1,4re = 10,8%rf = 1%
rm = %
6.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 000 000 ações negociadas a €33,50; o valor contábil do seu patrimônio líquido é €40 200 000. Ela acaba de pagar um dividendo de €2,50 por ação, e os dividendos crescem 5% ao ano. Sua dívida tem valor de mercado de €53 600 000 e custo antes dos impostos de 5%. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o modelo de crescimento de dividendos para o custo do capital próprio.
Um projeto custa €60 000 hoje e retorna €20 500 no final de cada ano durante 4 anos. O custo de capital é 12%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €50 000 e devolve €18 500, €24 500, €24 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −50 000CF1 = 18 500CF2 = 24 500CF3 = 24 500
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 2467 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Expoente
r·t = 0,03·7 = 0,21
e0,21 = 1,234
Valor futuro
FV = 2 000·1,234 = €2 467,36
Resposta
FV = €2 467,36
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: N = 88 pagamentos
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Reorganize a fórmula da anuidade
i = 0,002
(1 + i)−N = 1 − 8 000·0,002/100 = 0,84
Resolver com logaritmos
N = −ln(0,84)/ln(1,002) = 87,26
Arredonde para cima até pagamentos inteiros
87 pagamentos completos deixam um pequeno saldo, que o último pagamento, menor, quita.
N = 88
Resposta
N = 88 pagamentos
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: ΔP = 199,4 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 075 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Resolva numericamente
P(3%) = €1 111,51, P(4%) = €1 072,60
YTM = 3,937%
Resposta
YTM = 3,937%
5.CAPM e WACC
Resposta: rm = 8 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Prêmio de risco de mercado
rm − rf = (10,8% − 1%)/1,4 = 7%
Retorno do mercado
rm = 1% + 7% = 8%
Resposta
rm = 8%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,887 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 20 500/1,12 = 18 303,57 → Σ = 18 303,57
ano 2: 20 500/1,254 = 16 342,47 → Σ = 34 646,05
ano 3: 20 500/1,405 = 14 591,50 → Σ = 49 237,54
ano 4: 20 500/1,574 = 13 028,12 → Σ = 62 265,66
Fração do último ano
DPB = 3 + 10 762,46/13 028,12 = 3,826
Resposta
DPB = 3,826 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (2,927 anos).
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 15,83 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(15%) = 721,62
NPV(20%) = −3 391,20
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.