Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 15% ao ano, capitalizada semestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.

r = 15%m = 2

EAR = %

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Você deposita €3 000 no início de cada ano durante 7 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 6% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 7? Encontre FV.

A = €3 000i = 6%n = 7

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. O rendimento até o vencimento é de 4% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 6%YTM = 4%n = 8

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 6 anos. O rendimento até o vencimento é 3,5%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.

F = €1 000cupom = 6%n = 6YTM = 3,5%

D = anos

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 1,5. Seu custo do capital próprio é 14%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.

D/E = 1,5r_e = 14%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

As ações de uma empresa têm beta de 1,1 na sua relação dívida/capital próprio atual de 0,2. Ela planeja elevar a relação dívida/capital próprio para 1,25. A alíquota de imposto é 25,8%, a taxa livre de risco 1% e o prêmio de risco de mercado 6,5%. Encontre o custo do capital próprio r_e após a mudança.

β_L = 1,1D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1,25T = 25,8%r_f = 1%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.VAL e TIRMédia

Um projeto custa €200 000 hoje. Ele gera €10 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 4% ao ano para sempre. O custo de capital é 8%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €10 000g = 4%r = 8%

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €50 000 e devolve €30 000, €28 500, €22 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −50 000CF₁ = 30 000CF₂ = 28 500CF₃ = 22 000

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: EAR = 15,56 %

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa por período

r/m = 0,15/2 = 0,075

Capitalize ao longo de um ano

EAR = (1 + 0,075)² − 1 = 1,156 − 1 = 15,56%

Resposta

EAR = 15,56%

A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 26692 €

Fator de anuidade postecipada

((1 + 0,06)⁷ − 1)/0,06 = 8,394

Anuidade antecipada

Cada depósito fica investido um ano a mais.

FV = 3 000·8,394·1,06 = €26 692,40

Resposta

FV = €26 692,40

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1136 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €30,00, i = 0,02, N = 16

Valor presente dos cupons

€30,00·(1 − 0,7284)/0,02 = €407,33

Valor presente do valor de face

€1 000·0,7284 = €728,45

Preço

P = €1 135,78

Resposta

P = €1 135,78

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: D = 5,266 anos

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Valor atual de cada fluxo

t = 1: 60/1,035 = 57,97, t·PV = 57,97

t = 2: 60/1,071 = 56,01, t·PV = 112,02

t = 3: 60/1,109 = 54,12, t·PV = 162,35

t = 4: 60/1,148 = 52,29, t·PV = 209,15

t = 5: 60/1,188 = 50,52, t·PV = 252,59

t = 6: 1060/1,229 = 862,31, t·PV = 5 173,86

Duration

P = 1 133,21

D = 5 967,94/1 133,21 = 5,266

Resposta

D = 5,266 anos

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 7,85 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos a partir de D/E

E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4

D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6

WACC

WACC = 0,4·14% + 0,6·5%·(1 − 0,25) = 7,85%

Resposta

WACC = 7,85%

6.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 13 %

Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), onde β_U é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.

Desalavanque o beta

β_U = 1,1/(1 + 0,742·0,2) = 0,9579

Realavanque com o novo D/E

β_L = 0,9579·(1 + 0,742·1,25) = 1,846

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 1% + 1,846·6,5% = 13%

Resposta

r_e = 13%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = 50000 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor dos fluxos de caixa

PV = 10 000/(0,08 − 0,04) = 250 000,00

NPV

NPV = 250 000,00 − 200 000 = €50 000,00

Resposta

NPV = €50 000,00

O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 29,93 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(25%) = 3 504,00

NPV(30%) = −45,52

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 25 + 5·3 504,00/(3 504,00 − (−45,52)) = 29,94%

exato: NPV(29,93%) = 0 → IRR = 29,93%

Resposta

IRR = 29,93%

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