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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Um cartão de crédito cobra uma taxa de juros nominal de 25% ao ano, capitalizada trimestralmente. Encontre a taxa efetiva anual EAR em porcentagem.
r = 25%m = 4
EAR = %
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Poupa €250 no fim de cada mês durante 16 anos. A conta rende 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.
A = €2506% / 12N = 192
FV = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 9 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 5%) quando seu rendimento até o vencimento é 9%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 9,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%n = 9y0 = 9%y1 = 9,5%
HPR = %
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 4% vence em 3 anos e é vendido por €1 060. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 4%n = 3P = €1 060
YTM = %
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €2 000 000 e dívida de €1 000 000. Seu custo do capital próprio é 8%, seu custo da dívida antes dos impostos é 5% e a alíquota de imposto é 25,8%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €6 000 000 e custo do capital próprio de 14%. Sua dívida consiste em 5 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 7%, 10 anos até o vencimento) negociados a €1 113 cada. A alíquota de imposto é 30%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um projeto custa €40 000 hoje e retorna €11 500 no final de cada ano durante 5 anos. O custo de capital é 10%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €20 000 e devolve €13 500, €9 000, €14 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −20 000CF1 = 13 500CF2 = 9 000CF3 = 14 500
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: EAR = 27,44 %
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa por período
r/m = 0,25/4 = 0,0625
Capitalize ao longo de um ano
EAR = (1 + 0,0625)4 − 1 = 1,274 − 1 = 27,44%
Resposta
EAR = 27,44%
A taxa efetiva anual é sempre maior que a taxa nominal quando os juros são capitalizados mais de uma vez por ano.
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 80273 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€1 060 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Resolva numericamente
P(1%) = €1 088,23, P(2%) = €1 057,68
YTM = 1,923%
Resposta
YTM = 1,923%
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,57 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·8% + 0,3333·5%·(1 − 0,258) = 6,57%
Resposta
WACC = 6,57%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,116 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 11 500/1,1 = 10 454,55 → Σ = 10 454,55
ano 2: 11 500/1,21 = 9 504,13 → Σ = 19 958,68
ano 3: 11 500/1,331 = 8 640,12 → Σ = 28 598,80
ano 4: 11 500/1,464 = 7 854,65 → Σ = 36 453,45
ano 5: 11 500/1,611 = 7 140,60 → Σ = 43 594,05
Fração do último ano
DPB = 4 + 3 546,55/7 140,60 = 4,497
Resposta
DPB = 4,497 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3,478 anos).
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 38,1 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(35%) = 831,68
NPV(40%) = −481,05
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.