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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €5 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 3% ao ano para sempre. O retorno exigido é 6% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €5 000g = 3%r = 6%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €250 000 é pago em prestações mensais iguais durante 20 anos. A taxa de juro é de 6 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €250 0006% / 12N = 240
A = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 3 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €960 quando o rendimento até o vencimento é 6%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 3P = €960YTM = 6%
c = %
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% e vence em 5 anos. O rendimento até o vencimento é 9%. Encontre a duration de Macaulay D em anos.
F = €1 000cupom = 6%n = 5YTM = 9%
D = anos
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €10 000 000, ações preferenciais no valor de €500 000 e dívida no valor de €2 000 000. O custo do capital próprio é 11%, o custo das ações preferenciais 8% e o custo da dívida antes dos impostos 3%. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC.
O negócio de uma empresa tem beta desalavancado (dos ativos) de 0,6. Ela planeja uma relação dívida/capital próprio de 0,6. A alíquota de imposto é 20%, a taxa livre de risco é 1,5% e o prêmio de risco de mercado é 4,5%. Encontre o custo do capital próprio re na nova estrutura de capital.
βU = 0,6D/E = 0,6T = 20%rf = 1,5%rm − rf = 4,5%
re = %
7.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €15 000, €17 000, €20 000. O custo do capital é de 6 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €10 000 e devolve €7 000, €5 000 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 5 000
IRR = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 166667 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·20 = 240
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,3021
A = 250 000·0,005/(1 − 0,3021) = €1 791,08
Resposta
A = €1 791,08
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 4,504 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,06)−3 = €839,62
Cupom
C = (960 − 839,62)/2,673 = €45,04
Taxa de cupom
c = 45,04/1000 = 4,504%
Resposta
c = 4,504%
4.Preço e rendimento de títulos
Resposta: D = 4,426 anos
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Valor atual de cada fluxo
t = 1: 60/1,09 = 55,05, t·PV = 55,05
t = 2: 60/1,188 = 50,50, t·PV = 101,00
t = 3: 60/1,295 = 46,33, t·PV = 138,99
t = 4: 60/1,412 = 42,51, t·PV = 170,02
t = 5: 1060/1,539 = 688,93, t·PV = 3 444,64
Duration
P = 883,31
D = 3 909,70/883,31 = 4,426
Resposta
D = 4,426 anos
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,476 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Beta alavancado (Hamada): a dívida torna o capital próprio mais arriscado. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), onde βU é o beta do negócio sem dívida. Para levar um beta a outra estrutura de capital, primeiro desalavanque-o e depois realavanque-o com o novo D/E.
Beta alavancado
βL = 0,6·(1 + 0,8·0,6) = 0,888
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 1,5% + 0,888·4,5% = 5,496%
Resposta
re = 5,496%
7.VAL e TIR
Resposta: NPV = 1073 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 15 000/1,06 = 14 150,94
CF2/(1 + 0,06)2 = 17 000/1,124 = 15 129,94
CF3/(1 + 0,06)3 = 20 000/1,191 = 16 792,39
Somar
NPV = €1 073,27
Resposta
NPV = €1 073,27
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: IRR = 13,9 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(10%) = 495,87
NPV(15%) = −132,33
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.