Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Investe €8 000 a uma taxa nominal de 2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule o valor FV do investimento ao fim de 5 anos.

PV = €8 0002% / 12n = 5

FV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Poupa €500 no fim de cada mês durante 8 anos. A conta rende 4,8 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto poupou no fim? Calcule FV.

A = €5004,8% / 12N = 96

FV = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 3 anos. O rendimento até o vencimento é de 2,5% ao ano. Calcule o preço P do título.

F = €1 000cupom = 6%YTM = 2,5%n = 3

P = €

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título é negociado a €1 050 com rendimento até o vencimento de 7% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 4,9 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 100 pontos-base.

P₀ = €1 050y = 7%D = 4,9Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €12 000 000, ações preferenciais no valor de €2 000 000 e dívida no valor de €2 000 000. O custo do capital próprio é 12%, o custo das ações preferenciais 7,5% e o custo da dívida antes dos impostos 5%. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC.

E = €12 000 000P_s = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_p = 7,5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €6 000 000 e custo do capital próprio de 13%. Sua dívida consiste em 2 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 5%, 5 anos até o vencimento) negociados a €938 cada. A alíquota de imposto é 25,8%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.

E = €6 000 000r_e = 13%títulos: 2 000 × €938cupom = 5%n = 5T = 25,8%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €12 000, €12 000, €21 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 12 000CF₃ = 21 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €100 000 hoje. Seu fluxo de caixa é €14 500 no final do ano 1 e cresce 3% ao ano até o último fluxo de caixa, no final do ano 7. O custo de capital é 10%. Encontre o valor presente líquido NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €14 500g = 3%n = 7r = 10%

NPV = €

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 8841 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·5 = 60

Valor futuro

FV = 8 000·(1 + 0,001667)⁶⁰ = 8 000·1,105 = €8 840,63

Resposta

FV = €8 840,63

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: FV = 58378 €

Taxa mensal e número de depósitos

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·8 = 96

Valor futuro dos depósitos

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,467 − 1)/0,004 = €58 377,67

Resposta

FV = €58 377,67

Pôs €48 000 do seu bolso; o resto são juros.

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1101 €

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Por período

C = €30,00, i = 0,0125, N = 6

Valor presente dos cupons

€30,00·(1 − 0,9282)/0,0125 = €172,38

Valor presente do valor de face

€1 000·0,9282 = €928,17

Preço

P = €1 100,56

Resposta

P = €1 100,56

O rendimento está abaixo da taxa de cupom, então o título é vendido com ágio.

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1098 €

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modificada

D_mod = 4,9/1,07 = 4,579

Variação estimada do preço

%ΔP ≈ −4,579·(−0,01) = 4,579%

P ≈ 1050·(1 + 0,04579) = €1 098,08

Resposta

P = €1 098,08

A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.

5.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 10,43 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = 12 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €16 000 000

E/V = 0,75, P_s/V = 0,125, D/V = 0,125

WACC

WACC = 0,75·12% + 0,125·7,5% + 0,125·5%·(1 − 0,21) = 10,43%

Resposta

WACC = 10,43%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 11,05 %

Custo da dívida (YTM)

938 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 6,492%

Valores de mercado

D = 2 000·€938 = €1 876 000

V = €7 876 000, E/V = 0,7618, D/V = 0,2382

WACC

WACC = 0,7618·13% + 0,2382·6,492%·(1 − 0,258) = 11,05%

Resposta

WACC = 11,05%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −7675 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 12 000/1,09 = 11 009,17

CF₂/(1 + 0,09)² = 12 000/1,188 = 10 100,16

CF₃/(1 + 0,09)³ = 21 000/1,295 = 16 215,85

Somar

NPV = €−7 674,81

Resposta

NPV = €−7 674,81

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: NPV = −23589 €

Valor presente da anuidade crescente

((1,03)/(1,1))⁷ = 0,6311

PV = 14 500/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,6311) = 76 410,91

NPV

NPV = 76 410,91 − 100 000 = −€23 589,09

Resposta

NPV = −€23 589,09

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

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