Investimentos e Avaliação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Valor temporal do dinheiro

Valor futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valor atual: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Vários períodos por ano: i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuidade, valor futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Método

Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.

Preço e rendimento de títulos

Preço do título: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Semestral: C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente: C/P
Preço e rendimento: rendimento sobe → preço cai

Método

Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valor da empresa: V = E + D

VAL e TIR

Valor atual líquido: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Fluxos iguais: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Taxa interna de retorno: o r em que NPV = 0
Decisão: aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)

Método

Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CF_t/(1 + r)^t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.

2Exercícios

1.Valor temporal do dinheiroMédia

Precisa de €40 000 daqui a 10 anos. Uma conta rende 2 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.

FV = €40 0002% / 12n = 10

PV = €

2.Valor temporal do dinheiroDifícil

Um empréstimo de €200 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 15 anos a 4,8% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto de juros I é pago no total durante a vida do empréstimo?

P = €200 0004,8% / 12N = 180

I = €

3.Preço e rendimento de títulosMédia

Um título com valor de face de €1 000 vence em 15 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €1 119 quando o rendimento até o vencimento é 3%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.

F = €1 000n = 15P = €1 119YTM = 3%

c = %

4.Preço e rendimento de títulosDifícil

Um título é negociado a €1 035 com rendimento até o vencimento de 3% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 3,8 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento cair 100 pontos-base.

P₀ = €1 035y = 3%D = 3,8Δy = −100 bp

P = €

5.CAPM e WACCMédia

Uma empresa tem capital próprio no valor de €3 000 000 e dívida no valor de €1 000 000. Seu WACC é 9,09%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4,5% e a alíquota de imposto é 25%. Encontre o custo do capital próprio r_e.

E = €3 000 000D = €1 000 000WACC = 9,09%r_d = 4,5%T = 25%

r_e = %

6.CAPM e WACCDifícil

Uma empresa tem 2 000 000 ações a €42,50 cada e 20 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 3% e a alíquota de imposto é 25%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.

β = 1,8r_f = 2%r_m = 7%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

7.VAL e TIRMédia

Um investimento de €20 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €6 000, €6 000, €4 000. O custo do capital é de 10 %. Calcule o valor atual líquido NPV.

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 000CF₃ = 4 000

NPV = €

8.VAL e TIRDifícil

Um projeto custa €40 000 e devolve €29 500, €20 500 no fim dos anos 1 a 2. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 500CF₂ = 20 500

IRR = %

3Soluções

1.Valor temporal do dinheiro

Resposta: PV = 32755 €

Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)ⁿ. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.

Taxa e número de períodos

i = 0,02/12 = 0,001667

N = 12·10 = 120

Valor atual

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,221 = €32 754,68

Resposta

PV = €32 754,68

2.Valor temporal do dinheiro

Resposta: I = 80949 €

Prestação mensal

i = 0,004, N = 180

A = 200 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻¹⁸⁰) = €1 560,83

Juros totais

I = N·A − P = 180·1561 − 200 000 = €80 949,20

Resposta

I = €80 949,20

3.Preço e rendimento de títulos

Resposta: c = 3,997 %

Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.

Valor presente do valor de face

1000·(1 + 0,03)⁻¹⁵ = €641,86

Cupom

C = (1119 − 641,86)/11,94 = €39,97

Taxa de cupom

c = 39,97/1000 = 3,997%

Resposta

c = 3,997%

4.Preço e rendimento de títulos

Resposta: P = 1073 €

Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Duration modificada

D_mod = 3,8/1,03 = 3,689

Variação estimada do preço

%ΔP ≈ −3,689·(−0,01) = 3,689%

P ≈ 1035·(1 + 0,03689) = €1 073,18

Resposta

P = €1 073,18

A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.

5.CAPM e WACC

Resposta: r_e = 10,99 %

Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).

Pesos

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

Parte da dívida no WACC

0,25·4,5%·(1 − 0,25) = 0,8438%

Custo do capital próprio

r_e = (9,09% − 0,8438%)/0,75 = 10,99%

Resposta

r_e = 10,99%

6.CAPM e WACC

Resposta: WACC = 9,267 %

Valores de mercado

E = 2 000 000·€42,50 = €85 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Custo do capital próprio (CAPM)

r_e = 2% + 1,8·5% = 11%

Pesos

V = €106 000 000, E/V = 0,8019, D/V = 0,1981

WACC

WACC = 0,8019·11% + 0,1981·3%·(1 − 0,25) = 9,267%

Resposta

WACC = 9,267%

7.VAL e TIR

Resposta: NPV = −6582 €

Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.

Valor atual de cada fluxo

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 6 000/1,1 = 5 454,55

CF₂/(1 + 0,1)² = 6 000/1,21 = 4 958,68

CF₃/(1 + 0,1)³ = 4 000/1,331 = 3 005,26

Somar

NPV = €−6 581,52

Resposta

NPV = €−6 581,52

O VAL é negativo, logo o projeto rende menos do que a rendibilidade exigida.

8.VAL e TIR

Resposta: IRR = 17,4 %

Enquadrar a TIR

O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.

NPV(15%) = 1 153,12

NPV(20%) = −1 180,56

Aproximar

A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.

IRR ≈ 15 + 5·1 153,12/(1 153,12 − (−1 180,56)) = 17,47%

exato: NPV(17,4%) = 0 → IRR = 17,4%

Resposta

IRR = 17,4%

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