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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €5 000 daqui a 9 anos. Uma conta rende 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €5 0003% / 12n = 9
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €25 000 é pago em prestações mensais iguais durante 3 anos. A taxa de juro é de 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €25 0002,4% / 12N = 36
A = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 paga um cupom anual de 6% em dois pagamentos semestrais e vence em 8 anos. O rendimento até o vencimento é de 9% ao ano. Calcule o preço P do título.
F = €1 000cupom = 6%YTM = 9%n = 8
P = €
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 11 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 5%) é vendido a €1 238. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 3 anos a um preço de resgate de €1 050. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 5%P = €1 238preço de resgate = €1 050resgate em 3 anos
YTC = %
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €10 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 10%, seu custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
Uma empresa tem capital próprio com valor de mercado de €8 000 000 e custo do capital próprio de 9%. Sua dívida consiste em 5 000 títulos (valor de face €1 000, cupom anual 7%, 10 anos até o vencimento) negociados a €1 113 cada. A alíquota de imposto é 21%. Encontre o WACC, usando o rendimento até o vencimento dos títulos como custo da dívida antes dos impostos.
Um investimento de €75 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 3: €22 000, €32 000, €37 000. O custo do capital é de 7,000000000000001 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €40 000 e retorna €16 000, €24 000, €17 000, €20 000 no final dos anos 1 a 4. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 8%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·9 = 108
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,31 = €3 818,18
Resposta
PV = €3 818,18
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 720,4 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·3 = 36
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,9306
A = 25 000·0,002/(1 − 0,9306) = €720,44
Resposta
A = €720,44
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 831,5 €
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Por período
C = €30,00, i = 0,045, N = 16
Valor presente dos cupons
€30,00·(1 − 0,4945)/0,045 = €337,02
Valor presente do valor de face
€1 000·0,4945 = €494,47
Preço
P = €831,49
Resposta
P = €831,49
O rendimento está acima da taxa de cupom, então o título é vendido com deságio.
4.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTC = 50 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1238 = 50·(1 − (1 + y)−3)/y + 1050/(1 + y)3
Resolva numericamente
y = 50%: €381,48
y = 50%: €381,48
YTC = 50%
Resposta
YTC = 50%
O rendimento até o vencimento é 2,499%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 8,8 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308
WACC
WACC = 0,7692·10% + 0,2308·6%·(1 − 0,2) = 8,8%
Resposta
WACC = 8,8%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,091 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 22 000/1,07 = 20 560,75
CF2/(1 + 0,07)2 = 32 000/1,145 = 27 950,04
CF3/(1 + 0,07)3 = 37 000/1,225 = 30 203,02
Somar
NPV = €3 713,81
Resposta
NPV = €3 713,81
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
8.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 21,27 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.