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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €10 000 daqui a 3 anos. Uma conta rende 4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €10 0004% / 12n = 3
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um empréstimo de €20 000 é pago em prestações mensais iguais durante 5 anos. A taxa de juro é de 2,4 % ao ano, capitalizada mensalmente. Calcule a prestação mensal A.
P = €20 0002,4% / 12N = 60
A = €
3.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 8 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €964 quando o rendimento até o vencimento é 2,5%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 8P = €964YTM = 2,5%
c = %
4.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título é negociado a €920 com rendimento até o vencimento de 7% (capitalização anual) e duration de Macaulay de 9 anos. Use a duration modificada para estimar o novo preço P se o rendimento subir 50 pontos-base.
P0 = €920y = 7%D = 9Δy = +50 bp
P = €
5.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem capital próprio de €3 000 000 e dívida de €3 000 000. Seu custo do capital próprio é 9%, seu custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 20%. Calcule o WACC.
E = €3 000 000D = €3 000 000re = 9%rd = 4%T = 20%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €46,50 cada e 40 000 títulos negociados a €960 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 6% e a alíquota de imposto é 30%. O beta da ação é 0,8, a taxa livre de risco é 3,5% e o retorno do mercado é 8,5%. Calcule o WACC.
β = 0,8rf = 3,5%rm = 8,5%rd = 6%T = 30%
WACC = %
7.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €30 000 hoje e retorna €10 000 no final de cada ano durante 4 anos. O custo de capital é 6%. Suponha que os fluxos de caixa entrem de forma uniforme ao longo de cada ano. Encontre o período de payback descontado DPB em anos.
Um projeto custa €20 000 e retorna €8 000, €12 000, €9 500, €7 500 no final dos anos 1 a 4. Os fluxos de caixa podem ser reinvestidos ao custo de capital de 6%. Encontre a taxa interna de retorno modificada MIRR em porcentagem.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,04/12 = 0,003333
N = 12·3 = 36
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,127 = €8 870,97
Resposta
PV = €8 870,97
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: A = 354,1 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa mensal e número de prestações
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·5 = 60
Prestação
O valor atual de N pagamentos iguais A é A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguale-o ao empréstimo e resolva em ordem a A.
(1 + i)−N = 0,887
A = 20 000·0,002/(1 − 0,887) = €354,07
Resposta
A = €354,07
3.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 1,998 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,025)−8 = €820,75
Cupom
C = (964 − 820,75)/7,17 = €19,98
Taxa de cupom
c = 19,98/1000 = 1,998%
Resposta
c = 1,998%
4.Preço e rendimento de títulos
Resposta: P = 881,3 €
Duration: a duration de Macaulay é o prazo médio ponderado em que um título paga seus fluxos de caixa, usando como pesos os valores presentes dos fluxos de caixa: D = Σ t·PVₜ/P. A duration modificada D/(1 + y) estima a variação percentual do preço para uma pequena variação do rendimento: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Duration modificada
Dmod = 9/1,07 = 8,411
Variação estimada do preço
%ΔP ≈ −8,411·(0,005) = −4,206%
P ≈ 920·(1 − 0,04206) = €881,31
Resposta
P = €881,31
A duration é uma estimativa linear; para grandes variações de rendimento a convexidade torna o preço real um pouco mais alto.
5.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,1 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Pesos
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·9% + 0,5·4%·(1 − 0,2) = 6,1%
Resposta
WACC = 6,1%
6.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 6,935 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 4 000 000·€46,50 = €186 000 000
D = 40 000·€960 = €38 400 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 3,5% + 0,8·5% = 7,5%
Pesos
V = €224 400 000, E/V = 0,8289, D/V = 0,1711
WACC
WACC = 0,8289·7,5% + 0,1711·6%·(1 − 0,3) = 6,935%
Resposta
WACC = 6,935%
7.VAL e TIR
Resposta: DPB = 3,413 anos
Período de payback: o tempo até que os fluxos de caixa acumulados recuperem o investimento inicial. Supõe-se que o caixa entra de forma uniforme durante cada ano, então a última parte é uma fração de ano. O payback simples ignora o valor do dinheiro no tempo; o payback descontado usa os fluxos de caixa descontados.
Fluxos de caixa descontados e acumulados
ano 1: 10 000/1,06 = 9 433,96 → Σ = 9 433,96
ano 2: 10 000/1,124 = 8 899,96 → Σ = 18 333,93
ano 3: 10 000/1,191 = 8 396,19 → Σ = 26 730,12
ano 4: 10 000/1,262 = 7 920,94 → Σ = 34 651,06
Fração do último ano
DPB = 3 + 3 269,88/7 920,94 = 3,413
Resposta
DPB = 3,413 anos
O payback descontado é sempre mais longo que o payback simples (3 anos).
8.VAL e TIR
Resposta: MIRR = 19,35 %
TIR modificada: capitalize cada entrada até o final do projeto à taxa de reinvestimento (normalmente o custo de capital) para obter o valor terminal TV. A TIRM é a taxa que transforma o investimento inicial em TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.