Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−15 V300 Ω300 Ω + ΔR300 Ω300 Ωab+−Vab​ = ?

Uma ponte tem quatro braços de 300 Ω e Vs = 15 V. O sensor R₂ aumenta de ΔR = 45 Ω. Encontre a saída exata Vab em mV.

Vs = 15 VR = 300 ΩΔR = 45 Ω
Vab = mV
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−10 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

Uma ponte com braços de 350 Ω é excitada com 10 V e tem quatro extensômetros ativos, dois sob tração e dois sob compressão (ponte completa). O fator do extensômetro é 2 e a deformação é 500 µε. Encontre a saída da ponte Vo em mV.

Vs = 10 VGF = 2ε = 500 µε
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
Vin​N = 122,5 V2ᴺ − 101 LSB2,175 V?

Um ADC de 12 bits com faixa de entrada de 0 a 2,5 V trunca: seu código de saída é ⌊Vin/LSB⌋ com 1 LSB = VFSR/2ᴺ. Encontre o código de saída decimal D para uma entrada de 2,175 V.

N = 12VFSR = 2,5 VVin = 2,175 V
D =
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
122 ch∿01tc​ = 4 µstset​ = 5 µsfs​ = ?

Um multiplexador de 2 canais alimenta um único ADC. Cada conversão leva 4 µs e, após cada troca de canal, a entrada precisa de 5 µs para se estabilizar. Os canais são varridos em sequência, sem pausa. Encontre a taxa de amostragem fs de cada canal, em kHz.

n = 2tc = 4 µstset = 5 µs
fs = kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 10 kΩVin​

Escolha o resistor de realimentação Rf que dá a este amplificador não inversor um ganho de tensão de 15.

R1 = 10 kΩAv = 15
Rf = kΩ
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = 0,9 VR1​ = 47 kΩV2​ = 1,4 VR3​ = 4,7 kΩR4​ = 22 kΩ

O amplificador operacional é ideal e alimentado com ±15 V. As razões dos resistores não estão casadas. Encontre a tensão de saída Vout.

V1 = 0,9 VV2 = 1,4 VR1 = 47 kΩR2 = 2 kΩR3 = 4,7 kΩR4 = 22 kΩ
Vout = V
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​3 ΩB

Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.

V1 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 25 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​12 ΩBR6​5 Ω

Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.

V1 = 10 VR1 = 25 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩR4 = 12 ΩR5 = 6 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩARL​3 ΩIL​B

Uma carga RL = 3 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga IL.

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 10 ΩRL = 3 Ω
IL = A
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAIs​2 ABab

Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V1 = 15 VIs = 2 AR1 = 25 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 Ω
IN = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vab = 523,3 mV

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensões dos nós

Va = 15·345/645 = 8,023 V
Vb = 7,5 V

Saídas

Vab = 523,3 mV

Resposta

Vab = 523,3 mV

A estimativa linear Vs·ΔR/(4R) = 562,5 mV está 7,5 % alta demais: um quarto de ponte não é perfeitamente linear.

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vo = 10 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2·500·10⁻⁶ = 0,001

Saída da ponte

Vo = Vs·GF·ε = 10·0,001 = 10 mV

Resposta

Vo = 10 mV
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: D = 3563

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala VFSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = VFSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊Vin/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

Tamanho do passo

1 LSB = 2,5/212 = 0,6104 mV

Código

Vin/LSB = 2175/0,6104 = 3564
código = ⌊3564⌋ = 3563

Resposta

D = 3563

Em binário, isso é 110111101011.

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: fs = 55,56 kHz

Taxas de dados: cada canal fornece fs amostras por segundo de N bits, então a taxa bruta é canais × fs × N bit/s. Na memória, uma amostra ocupa bytes inteiros (uma amostra de 12 bits é armazenada em 2 bytes), então a memória para uma gravação é canais × fs × bytes por amostra × tempo. Um ADC multiplexado converte os canais um após o outro: cada conversão (com o tempo de estabilização) leva t, então uma rodada de n canais leva n·t e cada canal é amostrado a 1/(n·t).

Tempo por canal

4 + 5 = 9 µs

Tempo por varredura

2·9 = 18 µs

Taxa de amostragem por canal

fs = 1/18 µs = 55,56 kHz

Resposta

fs = 55,56 kHz
5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Rf = 140 kΩ

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Ganho de um amplificador não inversor

V₋ = V₊ = Vin, e a corrente em R₁ também passa por Rf, então Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (15 − 1)·10 = 140 kΩ

Resposta

Rf = 140 kΩ
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = 1,164 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão na entrada +

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1,4·22/(4,7 + 22) = 1,154 V

Superponha as duas entradas

Com V₂ = 0, V₁ vê um amplificador inversor. Com V₁ = 0, V₊ é amplificada pelo ganho não inversor 1 + R₂/R₁.

Vout = −(2/47)·0,9 + (1 + 2/47)·1,154 = −0,0383 + 1,203 = 1,164 V

Resposta

Vout = 1,164 V
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR1 = 0,2667 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 20 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​3 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 2 + 3 = 5 Ω
R2 ∥ 5 = 5·5/(5+5) = 2,5 Ω
Req = R1 + 2,5 = 20 + 2,5 = 22,5 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 6/22,5 = 0,2667 A

Resposta

IR1 = 0,2667 A
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: Req = 33,18 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 25 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAR4​12 ΩBR6​5 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 6 + 5 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 5,739 Ω
R3 + 5,739 = 25,74 Ω
R2 ∥ 25,74 = 8,184 Ω
Req = R1 + 8,184 = 25 + 8,184 = 33,18 Ω

Resposta

Req = 33,18 Ω
9.Thévenin e Norton

Resposta: IL = 0,233 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 ΩCURTOR2​2 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 10 = 11,71 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·2/(12+2) = 3,429 V
Rth​ = 11,71 Ω+−Vth​3,429 VRL​3 ΩIL​

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

IL = Vth/(Rth + RL) = 3,429/(11,71 + 3) = 0,233 A
10.Thévenin e Norton

Resposta: IN = 2,316 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 25 ΩR3​ = 10 ΩCURTOR2​20 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 25·20/(25+20) = 11,11 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 11,11 + 10 = 21,11 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​15 VR2​20 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,667 + 2·11,11 = 28,89 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 28,89 + 2·10 = 48,89 V
IN​2,316 ARth​21,11 Ωab

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

IN = Vth/Rth = 48,89/21,11 = 2,316 A

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