Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−12 V150 Ω150 Ω + ΔR150 Ω150 Ωab+−Vab​ = ?

Uma ponte tem quatro braços de 150 Ω e Vs = 12 V. O sensor R₂ aumenta de ΔR = 7,5 Ω. Encontre a saída exata Vab em mV.

Vs = 12 VR = 150 ΩΔR = 7,5 Ω
Vab = mV
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−12 V350 Ω − ΔR350 Ω + ΔR350 Ω + ΔR350 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

Uma célula de carga (uma ponte completa de extensômetros) tem uma saída nominal de 2,5 mV/V na carga nominal de 500 kg. Ela é excitada com 12 V. Encontre sua saída Vo sob uma carga de 200 kg.

2,5 mV/VFrated = 500 kgVs = 12 VF = 200 kg
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
tTs​ = 1/fs​f = 9 kHzfs​ = 5 kHz

Uma onda senoidal de 9 kHz é amostrada a 5 kHz sem filtro antialiasing. Em que frequência fa ela aparece nas amostras? Dê em Hz.

f = 9 kHzfs = 5 kHz
fa = Hz
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
f0fs​/2fs​2,25 kHz3f₁?

Uma onda quadrada de 2,25 kHz é amostrada a 5 kHz sem filtro antialiasing. Uma onda quadrada contém os harmônicos ímpares 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Em que frequência fa o harmônico 3f₁ aparece nos dados amostrados? Dê em Hz.

f₁ = 2,25 kHzfs = 5 kHzharmônico: 3f₁
fa = Hz
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = 0,5 VR1​ = 1 kΩV2​ = 1,7 VR3​ = 1 kΩR4​ = 2 kΩ

O amplificador diferencial usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V, com R3 = R1 e R4 = R2. Encontre a tensão de saída Vout.

V1 = 0,5 VV2 = 1,7 VR1 = R3 = 1 kΩR2 = R4 = 2 kΩ
Vout = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
−+Vout​Rf​ = 4,7 kΩV1​ = 0,2 VR1​ = 22 kΩV2​ = 1,8 VR2​ = 10 kΩ

O amplificador somador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V. Encontre a tensão de saída Vout.

V1 = 0,2 VV2 = 1,8 VR1 = 22 kΩR2 = 10 kΩRf = 4,7 kΩ
Vout = V
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​2 ΩB

Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 8 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​8 ΩBR6​5 Ω

Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 ΩR5 = 2 ΩR6 = 5 Ω
IR1 = A
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​20 ΩAab

Encontre a resistência de Thévenin Rth vista dos terminais a–b.

V1 = 30 VR1 = 8 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 Ω
Rth = Ω
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAIs​2,5 ABab

Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V1 = 30 VIs = 2,5 AR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 Ω
IN = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vab = 146,3 mV

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tensões dos nós

Va = 12·157,5/307,5 = 6,146 V
Vb = 6 V

Saídas

Vab = 146,3 mV

Resposta

Vab = 146,3 mV

A estimativa linear Vs·ΔR/(4R) = 150 mV está 2,5 % alta demais: um quarto de ponte não é perfeitamente linear.

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vo = 12 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Saída em fundo de escala

2,5·12 = 30 mV

Saída nesta carga

Vo = 30·200/500 = 12 mV

Resposta

Vo = 12 mV
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: fa = 1000 Hz

Amostragem: um ADC mede o sinal fs vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < fs/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em fa = |f − k·fs|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e fs/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de fs/2 antes do ADC.

Frequência de Nyquist

fs/2 = 2,5 kHz < f = 9 kHz

Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem

k = round(9000/5000) = 2

Frequência de aliasing

fa = |9000 − 2·5000| = 1000 Hz

Resposta

fa = 1000 Hz

A curva tracejada na figura é o alias: ela passa exatamente pelas mesmas amostras.

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: fa = 1750 Hz

Amostragem: um ADC mede o sinal fs vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < fs/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em fa = |f − k·fs|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e fs/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de fs/2 antes do ADC.

Frequência do harmônico

3f₁ = 3·2,25 kHz = 6,75 kHz

Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem

m = round(1,35) = 1

Frequência de aliasing

fa = |6750 − 1·5000| = 1750 Hz

Resposta

fa = 1750 Hz

O alias cai dentro da banda do sinal, onde nenhum filtro digital consegue removê-lo. Só um filtro analógico antes do ADC ajuda.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = 2,4 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão nas entradas

R₃ e R₄ conduzem a mesma corrente, então formam um divisor de tensão; a realimentação faz V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 1,7·2/(1 + 2) = 1,133 V
V₋ = V₊

LKC na entrada inversora

(0,5 − 1,133)/1 = (1,133 − Vout)/2
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (2/1)·(1,7 − 0,5) = 2,4 V

Resposta

Vout = 2,4 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = −0,8887 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Correntes de entrada

V₋ = 0, então cada resistor de entrada tem toda a sua tensão de entrada sobre ele.

I1 = V1/R1 = 0,2/22 = 0,009091 mA
I2 = V2/R2 = 1,8/10 = 0,18 mA
If = I1 + I2 = 0,1891 mA

Tensão de saída

Vout = −Rf·If = −4,7·0,1891 = −0,8887 V

Resposta

Vout = −0,8887 V
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: Req = 4,471 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​2 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 12 + 2 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 3·14/(3+14) = 2,471 Ω
Req = R1 + 2,471 = 2 + 2,471 = 4,471 Ω

Resposta

Req = 4,471 Ω
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR1 = 2,239 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAR4​8 ΩBR6​5 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 2 + 5 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 3,733 Ω
R3 + 3,733 = 11,73 Ω
R2 ∥ 11,73 = 5,399 Ω
Req = R1 + 5,399 = 8 + 5,399 = 13,4 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 30/13,4 = 2,239 A

Resposta

IR1 = 2,239 A
9.Thévenin e Norton

Resposta: Rth = 17,71 Ω

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 ΩCURTOR2​20 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 8·20/(8+20) = 5,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,714 + 12 = 17,71 Ω
10.Thévenin e Norton

Resposta: IN = 4,5 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 5 ΩR3​ = 5 ΩCURTOR2​5 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 5·5/(5+5) = 2,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,5 + 5 = 7,5 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAIs​2,5 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 15 + 2,5·2,5 = 21,25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 21,25 + 2,5·5 = 33,75 V
IN​4,5 ARth​7,5 Ωab

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

IN = Vth/Rth = 33,75/7,5 = 4,5 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation