Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
Saídas: V_ab = V_a − V_b
Balanço: R₁/R₂ = R₃/R₄
Ponte de fio: R/R_x = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
Fator do extensômetro: ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte: quarto V_s·GF·ε/4, meia V_s·GF·ε/2, completa V_s·GF·ε
Pequena variação, um braço: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
Tensão: σ = E·ε

Método

Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
Para uma ponte desequilibrada, encontre V_a e V_b a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use V_s·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Frequência de aliasing: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Tamanho do passo: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento): ±½ LSB
Código do ADC com truncamento: D = ⌊V_in/LSB⌋
Bits para uma resolução r: 2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados: canais × f_s × N bit/s
ADC multiplexado: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud: baud = f_clk/(16·D)

Método

Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
Em questões de amostragem, compare cada frequência com f_s/2; uma frequência mais alta aparece em f_a = |f − k·f_s|, com o múltiplo de f_s mais próximo.
Em questões de resolução, determine 1 LSB = V_FSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Amplificador não inversor: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Amplificador somador: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Amplificador operacional ideal: V₊ = V₋, I_in = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin: V_th = V_{open circuit}
Resistência de Thévenin: R_th: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton: I_N = V_th/R_th
Corrente na carga: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Máxima transferência de potência: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Método

Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é V_th.
Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é R_th.
Recoloque a carga no circuito equivalente: V_th em série com R_th.
Para o equivalente de Norton, converta: I_N = V_th/R_th, com R_N = R_th em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia

Um extensômetro de 400 Ω é um braço (R₂) de uma ponte com quatro braços iguais de 400 Ω e uma excitação de 2 V. Encontre a potência P_g dissipada no extensômetro, em mW. O autoaquecimento limita a excitação.

V_s = 2 VR = 400 Ω

P_g = mW

2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil

Uma ponte com braços de 120 Ω é excitada com 3 V e tem dois extensômetros ativos em braços adjacentes, um sob tração e outro sob compressão (meia ponte). O fator do extensômetro é 2,1 e a deformação é 200 µε. Encontre a saída da ponte V_o em mV.

V_s = 3 VGF = 2,1ε = 200 µε

V_o = mV

3.Aquisição de dados e amostragemMédia

Encontre a relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR de um ADC de 8 bits para uma senoide de fundo de escala.

N = 8

SQNR = dB

4.Aquisição de dados e amostragemDifícil

Um sensor de temperatura fornece 10 mV/°C (0 V a 0 °C). Seu sinal é amplificado 10 vezes e entra em um ADC de 10 bits com faixa de 0 a 10 V (1 LSB = V_FSR/2ᴺ). Encontre a variação de temperatura ΔT_LSB que corresponde a um LSB.

S = 10 mV/°CG = 10N = 10V_FSR = 10 V

ΔT_LSB = °C

5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia

O amplificador diferencial usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V, com R₃ = R₁ e R₄ = R₂. Encontre a tensão de saída V_out.

V₁ = 2,8 VV₂ = 1,5 VR₁ = R₃ = 100 kΩR₂ = R₄ = 22 kΩ

V_out = V

6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil

Dois estágios com amplificador operacional ideal estão ligados em cascata: um amplificador inversor (R₁, R_f1) seguido de um amplificador não inversor (R₂ para o terra, R_f2 na realimentação). Os dois são alimentados com ±15 V. A entrada é V_in = −0,15 V. Encontre a tensão de saída V_out.

R₁ = 100 kΩR_f1 = 100 kΩR₂ = 10 kΩR_f2 = 22 kΩV_in = −0,15 V

V_out = V

7.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

8.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

9.Thévenin e NortonMédia

Uma carga R_L = 15 Ω é ligada entre a–b. Substitua o resto do circuito pelo seu equivalente de Thévenin e encontre a corrente na carga I_L.

V₁ = 10 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR_L = 15 Ω

I_L = A

10.Thévenin e NortonDifícil

Encontre a tensão de Thévenin V_th vista dos terminais a–b.

V₁ = 10 VI_s = 0,5 AR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 4 Ω

V_th = V

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: P_g = 2,5 mW

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação V_s. O divisor da esquerda R₁–R₂ dá V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) e o divisor da direita R₃–R₄ dá V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄); a saída é V_ab = V_a − V_b. A ponte está equilibrada (V_ab = 0, sem corrente no medidor) quando R₁/R₂ = R₃/R₄, isto é, R₁·R₄ = R₂·R₃. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

Tensão sobre o extensômetro

V = 2/2 = 1 V

Potência

P_g = 1²/400 = 2,5 mW

Resposta

P_g = 2,5 mW

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: V_o = 0,63 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá V_o ≈ V_s·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão V_s·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão V_s·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2,1·200·10⁻⁶ = 0,00042

Saída da ponte

V_o = V_s·GF·ε/2 = 3·0,00042/2 = 0,63 mV

Resposta

V_o = 0,63 mV

3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: SQNR = 49,92 dB

Resolução do ADC: um conversor de N bits divide sua faixa de fundo de escala V_FSR em 2ᴺ códigos, de 0 a 2ᴺ − 1. Um passo é 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: a menor variação que o conversor consegue mostrar. Um ADC com truncamento dá o código ⌊V_in/LSB⌋; um ADC com arredondamento nunca fica a mais de ½ LSB do valor verdadeiro, seu erro de quantização. Cada bit a mais reduz o LSB à metade e acrescenta cerca de 6 dB à relação sinal-ruído de quantização ideal SQNR = 6,02·N + 1,76 dB para uma senoide de fundo de escala. Para alcançar uma resolução r em uma faixa, escolha o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/r.

SQNR ideal

SQNR = 6,02·8 + 1,76 = 49,92 dB

Resposta

SQNR = 49,92 dB

4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: ΔT_LSB = 0,09766 °C

Tamanho do passo

1 LSB = 10000/1024 = 9,766 mV

Sensibilidade no ADC

10·10 = 100 mV/°C

Resolução de temperatura

ΔT_LSB = 9,766/100 = 0,09766 °C

Resposta

ΔT_LSB = 0,09766 °C

O ADC atinge o fundo de escala a 100 °C.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = −0,286 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão nas entradas

R₃ e R₄ conduzem a mesma corrente, então formam um divisor de tensão; a realimentação faz V₋ = V₊.

V₊ = V₂·R₄/(R₃ + R₄) = 1,5·22/(100 + 22) = 0,2705 V

V₋ = V₊

LKC na entrada inversora

(2,8 − 0,2705)/100 = (0,2705 − V_out)/22

V_out = (R₂/R₁)·(V₂ − V₁) = (22/100)·(1,5 − 2,8) = −0,286 V

Resposta

V_out = −0,286 V

6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: V_out = 0,48 V

Ganho de cada estágio

A₁ = −R_f1/R₁ = −100/100 = −1

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 22/10 = 3,2

Estágio por estágio

V₁ = −1·(−0,15) = 0,15 V

V_out = 3,2·0,15 = 0,48 V

Resposta

V_out = 0,48 V

7.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 5,75 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1,75 Ω

R_eq = R₁ + 1,75 = 4 + 1,75 = 5,75 Ω

Resposta

R_eq = 5,75 Ω

8.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 2,341 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 2 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 7,241 Ω

R₃ + 7,241 = 37,24 Ω

R₂ ∥ 37,24 = 4,408 Ω

R_eq = R₁ + 4,408 = 2 + 4,408 = 6,408 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/6,408 = 2,341 A

Resposta

I_R1 = 2,341 A

9.Thévenin e Norton

Resposta: I_L = 0,3155 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão V_th em série com uma resistência R_th. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente I_N = V_th/R_th em paralelo com R_th.

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·20/(2+20) = 1,818 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,818 + 12 = 13,82 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·20/(2+20) = 9,091 V

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

A fonte de Thévenin e R_th em série se comportam exatamente como o circuito original em a–b, então a carga vê uma malha simples em série.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 9,091/(13,82 + 15) = 0,3155 A

10.Thévenin e Norton

Resposta: V_th = 12,61 V

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R₁ ∥ R₂ = 8·25/(8+25) = 6,061 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6,061 + 4 = 10,06 Ω

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,576 + 0,5·6,061 = 10,61 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10,61 + 0,5·4 = 12,61 V

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Método

Aquisição de dados e amostragem

Método

Circuitos com amplificadores operacionais

Resistores em série e paralelo

Método

Thévenin e Norton

Método

2Exercícios

3Soluções

Tensão sobre o extensômetro

Potência

Resposta

Variação relativa da resistência

Saída da ponte

Resposta

SQNR ideal

Resposta

Tamanho do passo

Sensibilidade no ADC

Resolução de temperatura

Resposta

Tensão nas entradas

LKC na entrada inversora

Resposta

Ganho de cada estágio

Estágio por estágio

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Resposta

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Corrente da fonte

Resposta

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Ligue a carga ao equivalente de Thévenin

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto

Encontre R_th com todas as fontes desligadas

Encontre V_th, a tensão de circuito aberto