Medição e Instrumentação: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Ponte de Wheatstone e extensômetros

Tensões dos divisores
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Saídas
Vab = Va − Vb
Balanço
R1/R2 = R3/R4
Ponte de fio
R/Rx = l/(100 − l)
Resistência de Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Fator do extensômetro
ΔR/R = GF·ε
Saída da ponte
quarto Vs·GF·ε/4, meia Vs·GF·ε/2, completa Vs·GF·ε
Pequena variação, um braço
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tensão
σ = E·ε

Método

  1. Trate a ponte como dois divisores de tensão sobre a mesma alimentação.
  2. Para o equilíbrio, faça R₁/R₂ = R₃/R₄ e resolva para o resistor desconhecido.
  3. Para uma ponte desequilibrada, encontre Va e Vb a partir dos divisores e subtraia; use o equivalente de Thévenin quando um medidor carrega a saída.
  4. Para extensômetros, converta a deformação em ΔR/R = GF·ε e use Vs·GF·ε/4, /2 ou ×1 para um quarto, meia ponte ou ponte completa.

Aquisição de dados e amostragem

Critério de Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frequência de aliasing
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Tamanho do passo
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Erro de quantização (arredondamento)
±½ LSB
Código do ADC com truncamento
D = ⌊Vin/LSB⌋
Bits para uma resolução r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, senoide de fundo de escala
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Taxa de dados
canais × fs × N bit/s
ADC multiplexado
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bits por byte; bytes/s = baud/bits por quadro
Divisor da taxa de baud
baud = fclk/(16·D)

Método

  1. Anote o que é dado: taxa de amostragem, frequências do sinal, número de bits, faixa de entrada, taxa de baud.
  2. Em questões de amostragem, compare cada frequência com fs/2; uma frequência mais alta aparece em fa = |f − k·fs|, com o múltiplo de fs mais próximo.
  3. Em questões de resolução, determine 1 LSB = VFSR/2ᴺ ou o menor N com 2ᴺ ≥ faixa/resolução.
  4. Para taxas de dados e enlaces UART, conte tudo o que é enviado: canais, amostras por segundo, bits ou bytes inteiros por amostra e os bits de início, de paridade e de parada de cada quadro.

Circuitos com amplificadores operacionais

Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador não inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador somador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Thévenin e Norton

Tensão de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistência de Thévenin
Rth: todas as fontes desligadas, vista de a–b
Corrente de Norton
IN = Vth/Rth
Corrente na carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferência de potência
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Método

  1. Retire a carga e marque os dois terminais a e b.
  2. Encontre a tensão de circuito aberto entre a e b: essa é Vth.
  3. Desligue todas as fontes independentes e encontre a resistência vista de a–b: essa é Rth.
  4. Recoloque a carga no circuito equivalente: Vth em série com Rth.
  5. Para o equivalente de Norton, converta: IN = Vth/Rth, com RN = Rth em paralelo.

2Exercícios

1.Ponte de Wheatstone e extensômetrosMédia
+−9 V470 Ω470 Ω + ΔR470 Ω470 Ωab+−Vab​ = ?

Uma ponte tem quatro braços de 470 Ω e Vs = 9 V. O sensor R₂ aumenta de ΔR = 2,35 Ω. Usando a aproximação para pequenas variações, encontre a saída Vab em mV.

Vs = 9 VR = 470 ΩΔR = 2,35 Ω
Vab = mV
2.Ponte de Wheatstone e extensômetrosDifícil
+−3 V120 Ω120 Ω + ΔR120 Ω120 Ωab+−Vo​ = ?

Uma ponte com braços de 120 Ω é excitada com 3 V e tem um extensômetro ativo (um quarto de ponte). O fator do extensômetro é 2 e a deformação é 1000 µε. Encontre a saída da ponte Vo em mV.

Vs = 3 VGF = 2ε = 1000 µε
Vo = mV
3.Aquisição de dados e amostragemMédia
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​Tb​10·Tb​19200 Bd, 8N1

Uma UART envia bytes a 19200 baud no formato 8N1: 8 bits de dados, sem paridade e 1 bit(s) de parada, além do bit de início. Encontre o maior número de bytes de dados por segundo que ela consegue transferir.

baud = 19200 Bd8N1
RB = B/s
4.Aquisição de dados e amostragemDifícil
f0fs​/2fs​1,44 kHz3f₁?

Uma onda quadrada de 1,44 kHz é amostrada a 8 kHz sem filtro antialiasing. Uma onda quadrada contém os harmônicos ímpares 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Em que frequência fa o harmônico 3f₁ aparece nos dados amostrados? Dê em Hz.

f₁ = 1,44 kHzfs = 8 kHzharmônico: 3f₁
fa = Hz
5.Circuitos com amplificadores operacionaisMédia
−+Vout​R2​ = 2 kΩV1​ = −1 VR1​ = 22 kΩV2​ = 3 VR3​ = 22 kΩR4​ = 2 kΩ

O amplificador diferencial usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V, com R3 = R1 e R4 = R2. Encontre a tensão de saída Vout.

V1 = −1 VV2 = 3 VR1 = R3 = 22 kΩR2 = R4 = 2 kΩ
Vout = V
6.Circuitos com amplificadores operacionaisDifícil
−+Vout​C = 4,7 µFVin​ = −2,8 VR = 100 kΩ

O integrador usa um amplificador operacional ideal alimentado com ±15 V; sua saída satura em ±13 V. O capacitor está descarregado quando uma entrada constante Vin = −2,8 V é aplicada em t = 0. Encontre a tensão de saída Vout em t = 500 ms.

Vin = −2,8 VR = 100 kΩC = 4,7 µFVsat = ±13 Vt = 500 ms
Vout = V
7.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​6 ΩB

Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.

V1 = 6 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 ΩR4 = 6 Ω
Req = Ω
8.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 5 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​5 ΩBR6​15 Ω

Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.

V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 30 ΩR3 = 30 ΩR4 = 5 ΩR5 = 3 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
9.Thévenin e NortonMédia
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAab

Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
10.Thévenin e NortonDifícil
R1​ = 30 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​30 ΩAIs​4 ABab

Encontre a corrente de Norton IN: a corrente que flui de a para b se os terminais forem curto-circuitados.

V1 = 36 VIs = 4 AR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 15 Ω
IN = A

3Soluções

1.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vab = 11,25 mV

Ponte de Wheatstone: dois divisores de tensão compartilham uma mesma alimentação Vs. O divisor da esquerda R1–R2 dá Va = Vs·R2/(R1 + R2) e o divisor da direita R3–R4 dá Vb = Vs·R4/(R3 + R4); a saída é Vab = Va − Vb. A ponte está equilibrada (Vab = 0, sem corrente no medidor) quando R1/R2 = R3/R4, isto é, R1·R4 = R2·R3. Vista da saída, a ponte é uma fonte de Thévenin com Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Variação relativa

ΔR/R = 2,35/470 = 0,005

Saída linearizada

Vab ≈ 9·0,005/4 = 11,25 mV

Resposta

Vab = 11,25 mV

O valor exato é 11,22 mV; a aproximação é boa enquanto ΔR/R for pequeno.

2.Ponte de Wheatstone e extensômetros

Resposta: Vo = 1,5 mV

Extensômetros: um extensômetro altera sua resistência com a deformação: ΔR/R = GF·ε, onde o fator do extensômetro GF é cerca de 2 para folha metálica. Em uma ponte com todos os braços iguais a R, um extensômetro ativo (um quarto de ponte) dá Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dois extensômetros ativos com deformações opostas em braços adjacentes (meia ponte) dão Vs·GF·ε/2, e quatro (ponte completa) dão Vs·GF·ε. A tensão mecânica segue da lei de Hooke, σ = E·ε. As células de carga indicam sua sensibilidade em mV/V: a saída a plena carga por volt de excitação.

Variação relativa da resistência

ΔR/R = 2·1000·10⁻⁶ = 0,002

Saída da ponte

Vo ≈ Vs·GF·ε/4 = 3·0,002/4 = 1,5 mV

Resposta

Vo = 1,5 mV
3.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: RB = 1920 B/s

UART: um enlace serial assíncrono envia cada byte como um quadro: um bit de início (baixo), os bits de dados, um bit de paridade opcional e um ou dois bits de parada (alto). A taxa de baud é o número de bits por segundo, então um bit dura Tb = 1/baud e um quadro de n bits dura n/baud. O formato comum 8N1 tem 10 bits por byte. O gerador de baud divide o clock: baud = fclk/(16·D) com um número inteiro D, então a taxa de baud real difere um pouco da desejada; um erro abaixo de cerca de 2 % costuma ser aceitável.

Bits por quadro

1 + 8 + 0 + 1 = 10

Taxa de bytes

19200/10 = 1920 B/s

Resposta

RB = 1920 B/s
4.Aquisição de dados e amostragem

Resposta: fa = 3680 Hz

Amostragem: um ADC mede o sinal fs vezes por segundo. Pelo teorema de Nyquist–Shannon, uma frequência f só é capturada corretamente enquanto f < fs/2, a frequência de Nyquist (de dobramento), de modo que a taxa de amostragem deve superar o dobro da maior frequência do sinal. Uma frequência mais alta não se perde: ela aparece como um alias em fa = |f − k·fs|, com o número inteiro k que leva o resultado para entre 0 e fs/2. As amostras não distinguem as duas, então um filtro analógico antialiasing deve remover tudo acima de fs/2 antes do ADC.

Frequência do harmônico

3f₁ = 3·1,44 kHz = 4,32 kHz

Múltiplo mais próximo da taxa de amostragem

m = round(0,54) = 1

Frequência de aliasing

fa = |4320 − 1·8000| = 3680 Hz

Resposta

fa = 3680 Hz

O alias cai dentro da banda do sinal, onde nenhum filtro digital consegue removê-lo. Só um filtro analógico antes do ADC ajuda.

5.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = 0,3636 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Tensão nas entradas

R₃ e R₄ conduzem a mesma corrente, então formam um divisor de tensão; a realimentação faz V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 3·2/(22 + 2) = 0,25 V
V₋ = V₊

LKC na entrada inversora

(−1 − 0,25)/22 = (0,25 − Vout)/2
Vout = (R2/R1)·(V2 − V1) = (2/22)·(3 − (−1)) = 0,3636 V

Resposta

Vout = 0,3636 V
6.Circuitos com amplificadores operacionais

Resposta: Vout = 2,979 V

Regras do amplificador operacional ideal: com realimentação negativa, o amplificador ajusta sua saída para que as duas entradas fiquem na mesma tensão (V₋ = V₊), e nenhuma corrente entra em qualquer entrada. Escrever a LKC na entrada inversora com esses dois fatos dá a saída.

Corrente de entrada e taxa da rampa

kΩ vezes µF dá milissegundos.

RC = 100 kΩ · 4,7 µF = 470 ms
taxa da rampa = −Vin/(RC) = −(−2,8)/470 = 0,005957 V/ms

Saída no instante dado

O valor ideal fica dentro de ±Vsat, então o integrador ainda não saturou.

Vout = −Vin·t/(RC) = −(−2,8)·500/470 = 2,979 V

Resposta

Vout = 2,979 V
7.Resistores em série e paralelo

Resposta: Req = 12,67 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 6 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​6 VR2​20 ΩAR4​6 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 4 + 6 = 10 Ω
R2 ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6,667 Ω
Req = R1 + 6,667 = 6 + 6,667 = 12,67 Ω

Resposta

Req = 12,67 Ω
8.Resistores em série e paralelo

Resposta: Req = 20,92 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 5 ΩR3​ = 30 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​5 ΩBR6​15 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 3 + 15 = 18 Ω
R4 ∥ 18 = 3,913 Ω
R3 + 3,913 = 33,91 Ω
R2 ∥ 33,91 = 15,92 Ω
Req = R1 + 15,92 = 5 + 15,92 = 20,92 Ω

Resposta

Req = 20,92 Ω
9.Thévenin e Norton

Resposta: IN = 0,7143 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 6 ΩR3​ = 12 ΩCURTOR2​10 ΩAabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 6·10/(6+10) = 3,75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,75 + 12 = 15,75 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​18 VR2​10 ΩAab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, não passa corrente por R₃, então não há queda nele e V_b = V_A. R₁ e R₂ formam um divisor de tensão.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·10/(6+10) = 11,25 V
IN​0,7143 ARth​15,75 Ωab

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

IN = Vth/Rth = 11,25/15,75 = 0,7143 A
10.Thévenin e Norton

Resposta: IN = −3,4 A

Teorema de Thévenin: qualquer rede linear de dois terminais se comporta como uma única fonte de tensão Vth em série com uma resistência Rth. O teorema de Norton dá a mesma rede como uma fonte de corrente IN = Vth/Rth em paralelo com Rth.

R1​ = 30 ΩR3​ = 15 ΩCURTOR2​30 ΩAABERTOBabRth​

Encontre Rth com todas as fontes desligadas

Substitua fontes de tensão por curtos e fontes de corrente por circuitos abertos, depois olhe para o circuito a partir de a–b.

R1 ∥ R2 = 30·30/(30+30) = 15 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 15 + 15 = 30 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​36 VR2​30 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

Encontre Vth, a tensão de circuito aberto

Com a–b aberto, o único caminho para Iₛ é por R₃ até o nó A. Encontre V_A por superposição de V₁ e Iₛ, depois some a queda em R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 18 + (−4)·15 = −42 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −42 + (−4)·15 = −102 V
IN​3,4 ARth​30 Ωab

Equivalente de Norton

Uma fonte de Norton é o mesmo circuito visto como uma fonte de corrente em paralelo com R_th. Sua corrente é a corrente de curto-circuito em a–b.

IN = Vth/Rth = −102/30 = −3,4 A

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