Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.
Sequências e séries
Sequência aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência
R = lim |ck/ck+1|
Polinômio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrizes e determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores próprios
det(A − λI) = 0
Regra de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equações diferenciais
Crescimento/decaimento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Meia-vida
k = ln 2 / t½
Lei de resfriamento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fator integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tanque de mistura
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercícios
1.Métodos numéricosMédia
Aproxime ∫01,5 √(1 + x³) dx com a regra de Simpson usando n = 2 faixas. Dê S.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2
S =
2.Métodos numéricosDifícil
Use o método de Euler com h = 0,2 para y′ = y − t², y(0) = 2 para estimar y5 ≈ y(1).
y′ = y − t²y(0) = 2h = 0,2
y5 =
3.Sequências e sériesMédia
Exatamente uma das quatro séries converge. Clique nela.
A: Σ k!/2ᵏB: Σ 2/kC: Σ 1/k⁴D: Σ k/(k + 1)
1A: Σ k!/2ᵏ
2B: Σ 2/k
3C: Σ 1/k⁴
4D: Σ k/(k + 1)
4.Sequências e sériesDifícil
Encontre o coeficiente c₄ de (x − 3)⁴ na série de Taylor de f(x) = ln x em torno de a = 3.
f(x) = ln xa = 3k = 4
c₄ =
5.Matrizes e determinantesMédia
Calcule o determinante det A da matriz 3×3 A apresentada.
A = [−4 5 −5; 1 2 3; 1 −3 −1]
det A =
6.Matrizes e determinantesDifícil
Calcule o maior valor próprio λ da matriz A apresentada.
A = [−2 −3; 2 3]
λ =
7.Equações diferenciaisMédia
Uma lata de refrigerante a 4 °C é tirada da geladeira e levada para uma sala a 23 °C. Após 16 min sua temperatura é 16 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Quanto tempo após o início, t, leva para chegar a 21 °C?
T0 = 4 °CTa = 23 °CT(16) = 16 °CT = 21 °C
t = min
8.Equações diferenciaisDifícil
Resolva o problema de valor inicial y′ + y/x = 3x2 para x > 0, com y(1) = 0. Encontre y(2).
y′ + y/x = 3x2y(1) = 0
y(2) =
3Soluções
1.Métodos numéricos
Resposta: S = 1,965
Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.
Nós e valores
h = 0,75
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,192424 + 2,09165 = 7,861346
Regra de Simpson
S = (0,75/3)·7,861346 = 1,965
Resposta
S = 1,965
Esta integral não tem primitiva elementar, que é justamente quando uma regra numérica é necessária.
2.Métodos numéricos
Resposta: y5 = 4,702
Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.
Passos de Euler
y₁ = 2 + 0,2·(2) = 2,4
y₂ = 2,4 + 0,2·(2,36) = 2,872
y₃ = 2,872 + 0,2·(2,712) = 3,4144
y₄ = 3,4144 + 0,2·(3,0544) = 4,02528
y₅ = 4,02528 + 0,2·(3,38528) = 4,702336
Gráfico
y5 = 4,702
Resposta
y5 = 4,702
O valor exato é y(1) = 5.
3.Sequências e séries
Resposta: C: Σ 1/k⁴
Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|; teste da raiz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |ck/ck+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.
Teste cada série
A: Σ k!/2ᵏ → Teste da razão: L = lim (k + 1)/2 = ∞, diverge.
B: Σ 2/k → Um múltiplo da série harmônica (p = 1): diverge.
C: Σ 1/k⁴ → Série-p com p = 4 > 1: converge.
D: Σ k/(k + 1) → Os termos tendem a 1, e não a 0: diverge pelo teste do n-ésimo termo.
A resposta
C: Σ 1/k⁴
Resposta
C: Σ 1/k⁴
4.Sequências e séries
Resposta: c₄ = −0,003086
Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.
Derivada f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = −6/x⁴
Coeficiente
c₄ = f⁽⁴⁾(3)/4! = −6/(3⁴·24) = −0,003086
c₄ = −0,003086
Resposta
c₄ = −0,003086
5.Matrizes e determinantes
Resposta: det A = 17
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Menores 2×2 da primeira linha
M₁₁ = 7, M₁₂ = −4, M₁₃ = −5
Desenvolvimento por cofatores
det A = (−4)·7 − 5·(−4) + (−5)·(−5) = 17
Resposta
det A = 17
6.Matrizes e determinantes
Resposta: λ = 1
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Equação característica
λ² − (1)λ + (0) = 0
Resolva
λ = (1 ± √(1))/2 → λ = 0, 1
λ = 1
Resposta
λ = 1
7.Equações diferenciais
Resposta: t = 36,07 min
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.
Constante de resfriamento
k = ln(-19/-7)/16 = 0,06241 min⁻¹
Tempo até atingir o valor desejado
t = ln(-19/(−2))/0,06241 = 36,07 min
Resposta
t = 36,07 min
8.Equações diferenciais
Resposta: y(2) = 5,625
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.