Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor boost ideal converte 12 V em 48 V a 50 kHz com L = 150 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 12 VVo = 48 Vf = 50 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 12 V em 7,2 V a 250 kHz com L = 10 µH. Encontre a capacitância de saída C que limita a ondulação pico a pico da saída a 50 mV.
Um motor CC consome 6 A de uma alimentação de 120 V. Sua resistência de armadura é 0,8 Ω e suas perdas rotacionais (atrito, ventilação e ferro) são 41 W. Encontre seu rendimento η.
V = 120 VIa = 6 ARa = 0,8 ΩProt = 41 W
η = %
4.Motores CCDifícil
Um motor CC de 120 V tem resistência de armadura de 1 Ω. Encontre a resistência de partida em série Rst que limita a corrente de partida a 10 A.
V = 120 VRa = 1 ΩImax = 10 A
Rst = Ω
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Um motor monofásico consome 11 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma fonte de 230 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.
P = 11 kWpf = 0,7V = 230 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma carga monofásica consome 40 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma fonte de 240 V, 50 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,95. Encontre a capacitância C necessária.
P = 40 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz
C = µF
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 50 A de uma alimentação com tensão de linha de 415 V. O fator de potência é 0,92 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.
VL = 415 VIL = 50 Acos φ = 0,92
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 120 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma alimentação de 690 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 120 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 1,2 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 12/48 = 0,75
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.
VL = 12 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0,75/(150·10⁻⁶·50·10³) = 1,2 A
Resposta
ΔIL = 1,2 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: C = 11,52 µF
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 7,2/12 = 0,6
Ondulação de corrente no indutor
ΔIL = (12 − 7,2)·0,6/(10·10⁻⁶·250·10³) = 1,152 A
Capacitância
C = 1,152/(8·250·10³·50·10⁻³) = 11,52 µF
Resposta
C = 11,52 µF
3.Motores CC
Resposta: η = 90,31 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potências
Pin = 120·6 = 720 W
Pdev = 115,2·6 = 691,2 W
Pout = 691,2 − 41 = 650,2 W
Rendimento
η = 650,2/720·100 = 90,31 %
Resposta
η = 90,31 %
4.Motores CC
Resposta: Rst = 11 Ω
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Resistência total
Ra + Rst = 120/10 = 12 Ω
Resistor de partida
Rst = 12 − 1 = 11 Ω
Resposta
Rst = 11 Ω
O resistor é retirado por etapas à medida que o motor acelera e a fcem cresce.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: Q = 11,22 kvar
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Ângulo
φ = arccos(0,7) = 45,57°, tan φ = 1,02
Potência reativa
Q = P·tan φ = 11·1,02 = 11,22 kvar
Resposta
Q = 11,22 kvar
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: C = 1529 µF
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(45,57°) = 40,81 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(18,19°) = 13,15 kvar
QC = Q1 − Q2 = 27,66 kvar
Capacitância
Um capacitor ligado à fonte fornece Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 27661/(2π·50·240²) = 1529 µF
Resposta
C = 1529 µF
7.Potência trifásica
Resposta: P = 33,06 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência aparente
S = √3·VL·IL = √3·415·50 = 35,94 kVA
Potência ativa
P = S·cos φ = 35,94·0,92 = 33,06 kW
Resposta
P = 33,06 kW
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 775,1 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 115,9 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.