Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​ = ?Imin​Io​DTT2T

Um conversor buck converte 12 V em 7,2 V para uma carga de 2,5 Ω. Ele chaveia a 20 kHz com L = 150 µH. Encontre a corrente de pico no indutor Imax.

Vin​ = 12 VVo​ = 7,2 Vf = 20 kHzL = 150 µHR = 2,5 Ω
Imax = A
2.Conversores CC-CCDifícil
tiL​Imax​IL​DTT2T

Um conversor boost ideal converte 15 V em 60 V para uma carga de 8 Ω a 500 kHz. Encontre a menor indutância Lcrit para condução contínua.

Vin​ = 15 VVo​ = 60 Vf = 500 kHzR = 8 Ω
Lcrit = µH
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)60 N·mn0​n = ?

Um motor CC (k = 1,5 N·m/A, Ra = 0,5 Ω) funciona com 240 V e aciona um torque de carga de 60 N·m. Encontre sua velocidade n em rpm.

V = 240 Vk = 1,5 N·m/ARa = 0,5 ΩT = 60 N·m
n = rpm
4.Motores CCDifícil
+−110 VD = ?Ra​ = 0,4 ΩM+−En = 500 rpmT = 2,5 N·m

Um chopper CC alimenta um motor (k = 0,5 V·s/rad, Ra = 0,4 Ω) a partir de um barramento CC de 110 V. A tensão média de armadura é D·110 V. Encontre a razão cíclica D que faz o motor funcionar a 500 rpm com uma carga de 2,5 N·m.

Vdc = 110 Vk = 0,5 V·s/radRa = 0,4 ΩT = 2,5 N·mn = 500 rpm
D = %
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
230 V111 kW, 0,65221 kW, 0,95I

Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 230 V: uma carga de 11 kW com fator de potência 0,65 indutivo e uma carga de 21 kW com fator de potência 0,95 indutivo. Encontre o fator de potência global cos φ visto pela fonte.

V = 230 VP1 = 11 kW, pf1 = 0,65 indutivoP2 = 21 kW, pf2 = 0,95 indutivo
cos φ =
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
P1​ = 78 kWQ1​S1​φ

Um transformador monofásico de 150 kVA alimenta uma carga de 78 kW com fator de potência 0,8 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?

Smax = 150 kVAP1 = 78 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 690 VIL​ = 25 Acos φ = 0,9indutivo

Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 25 A de uma alimentação com tensão de linha de 690 V. O fator de potência é 0,9 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.

VL = 690 VIL = 25 Acos φ = 0,9
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Uma carga trifásica equilibrada consome 100 kW com fator de potência 0,78 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.

P = 100 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: Imax = 3,36 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 7,2/12 = 0,6

Corrente média e ondulação

Io = 7,2/2,5 = 2,88 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,8·0,6/(150·10⁻⁶·20·10³) = 0,96 A

Corrente de pico

Imax = 2,88 + 0,96/2 = 3,36 A

Resposta

Imax = 3,36 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: Lcrit = 0,375 µH

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 1 − 15/60 = 0,75

Condição de limite

Iguale a corrente média no indutor à metade da ondulação de corrente e resolva para L.

Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)

Indutância crítica

Lcrit = 0,75(1 − 0,75)²·8/(2500·10³) = 0,375 µH

Resposta

Lcrit = 0,375 µH
3.Motores CC

Resposta: n = 1401 rpm

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente de armadura

Ia = T/k = 60/1,5 = 40 A

fcem e velocidade

E = 240 − 40·0,5 = 220 V
ω = E/k = 146,7 rad/s → n = 1401 rpm

Resposta

n = 1401 rpm
4.Motores CC

Resposta: D = 25,62 %

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Tensão de armadura necessária

Va = 0,5·52,36 + 5·0,4 = 28,18 V

Ciclo de trabalho

D = 28,18/110 = 25,62 %

Resposta

D = 25,62 %
5.Potência CA e fator de potência

Resposta: cos φ = 0,8508

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa de cada carga

Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).

Q1 = 11·tan(arccos 0,65) = 12,86 kvar
Q2 = 21·tan(arccos 0,95) = 6,902 kvar

Totais

P = 11 + 21 = 32 kW
Q = 12,86 + 6,902 = 19,76 kvar
S = √(32² + 19,76²) = 37,61 kVA

Fator de potência global

cos φ = P/S = 32/37,61 = 0,8508 indutivo

Resposta

cos φ = 0,8508
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: ΔP = 60,12 kW

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa da carga existente

Q1 = 78·tan(arccos 0,8) = 58,5 kvar

Maior potência ativa total

Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 58,5²) = 138,1 kW

Potência ativa adicional

ΔP = 138,1 − 78 = 60,12 kW

Resposta

ΔP = 60,12 kW
7.Potência trifásica

Resposta: P = 26,89 kW

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência aparente

S = √3·VL·IL = √3·690·25 = 29,88 kVA

Potência ativa

P = S·cos φ = 29,88·0,9 = 26,89 kW

Resposta

P = 26,89 kW
8.Potência trifásica

Resposta: QC = 59,92 kvar

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,78) = 100·0,8023 = 80,23 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 59,92 kvar

Resposta

QC = 59,92 kvar

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