Um conversor boost ideal converte 15 V em 60 V para uma carga de 8 Ω a 500 kHz. Encontre a menor indutância Lcrit para condução contínua.
Vin = 15 VVo = 60 Vf = 500 kHzR = 8 Ω
Lcrit = µH
3.Motores CCMédia
Um motor CC (k = 1,5 N·m/A, Ra = 0,5 Ω) funciona com 240 V e aciona um torque de carga de 60 N·m. Encontre sua velocidade n em rpm.
V = 240 Vk = 1,5 N·m/ARa = 0,5 ΩT = 60 N·m
n = rpm
4.Motores CCDifícil
Um chopper CC alimenta um motor (k = 0,5 V·s/rad, Ra = 0,4 Ω) a partir de um barramento CC de 110 V. A tensão média de armadura é D·110 V. Encontre a razão cíclica D que faz o motor funcionar a 500 rpm com uma carga de 2,5 N·m.
Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 230 V: uma carga de 11 kW com fator de potência 0,65 indutivo e uma carga de 21 kW com fator de potência 0,95 indutivo. Encontre o fator de potência global cos φ visto pela fonte.
Um transformador monofásico de 150 kVA alimenta uma carga de 78 kW com fator de potência 0,8 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?
Smax = 150 kVAP1 = 78 kWpf1 = 0,8
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 25 A de uma alimentação com tensão de linha de 690 V. O fator de potência é 0,9 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.
VL = 690 VIL = 25 Acos φ = 0,9
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 100 kW com fator de potência 0,78 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.
P = 100 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: Imax = 3,36 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 7,2/12 = 0,6
Corrente média e ondulação
Io = 7,2/2,5 = 2,88 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,8·0,6/(150·10⁻⁶·20·10³) = 0,96 A
Corrente de pico
Imax = 2,88 + 0,96/2 = 3,36 A
Resposta
Imax = 3,36 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: Lcrit = 0,375 µH
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 15/60 = 0,75
Condição de limite
Iguale a corrente média no indutor à metade da ondulação de corrente e resolva para L.
Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)
Indutância crítica
Lcrit = 0,75(1 − 0,75)²·8/(2500·10³) = 0,375 µH
Resposta
Lcrit = 0,375 µH
3.Motores CC
Resposta: n = 1401 rpm
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Corrente de armadura
Ia = T/k = 60/1,5 = 40 A
fcem e velocidade
E = 240 − 40·0,5 = 220 V
ω = E/k = 146,7 rad/s → n = 1401 rpm
Resposta
n = 1401 rpm
4.Motores CC
Resposta: D = 25,62 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Tensão de armadura necessária
Va = 0,5·52,36 + 5·0,4 = 28,18 V
Ciclo de trabalho
D = 28,18/110 = 25,62 %
Resposta
D = 25,62 %
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: cos φ = 0,8508
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa de cada carga
Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).
Q1 = 11·tan(arccos 0,65) = 12,86 kvar
Q2 = 21·tan(arccos 0,95) = 6,902 kvar
Totais
P = 11 + 21 = 32 kW
Q = 12,86 + 6,902 = 19,76 kvar
S = √(32² + 19,76²) = 37,61 kVA
Fator de potência global
cos φ = P/S = 32/37,61 = 0,8508 indutivo
Resposta
cos φ = 0,8508
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: ΔP = 60,12 kW
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa da carga existente
Q1 = 78·tan(arccos 0,8) = 58,5 kvar
Maior potência ativa total
Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 58,5²) = 138,1 kW
Potência ativa adicional
ΔP = 138,1 − 78 = 60,12 kW
Resposta
ΔP = 60,12 kW
7.Potência trifásica
Resposta: P = 26,89 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência aparente
S = √3·VL·IL = √3·690·25 = 29,88 kVA
Potência ativa
P = S·cos φ = 29,88·0,9 = 26,89 kW
Resposta
P = 26,89 kW
8.Potência trifásica
Resposta: QC = 59,92 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.