Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Um conversor buck ideal converte 12 V em 4,8 V a 25 kHz com L = 47 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.

Vin​ = 12 VVo​ = 4,8 Vf = 25 kHzL = 47 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
tiL​Imax​Io​DTT2T

Um conversor buck converte 15 V em 4,5 V a 250 kHz com L = 100 µH. Encontre a menor corrente de carga Io,min para a qual ele permanece em condução contínua.

Vin​ = 15 VVo​ = 4,5 Vf = 250 kHzL = 100 µH
Io,min = A
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)18 N·mn0​n = ?

Um motor CC (k = 1,2 N·m/A, Ra = 1 Ω) funciona com 110 V e aciona um torque de carga de 18 N·m. Encontre sua velocidade n em rpm.

V = 110 Vk = 1,2 N·m/ARa = 1 ΩT = 18 N·m
n = rpm
4.Motores CCDifícil
+−48 VRa​ = 3 ΩM+−EωT

Um pequeno motor CC tem resistência de armadura de 3 Ω e funciona com 48 V. Desprezando as perdas rotacionais, encontre a maior potência mecânica Pmax que ele pode desenvolver em qualquer velocidade.

V = 48 VRa = 3 Ω
Pmax = W
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
P = 40 kWQSφ

Um motor monofásico consome 40 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma fonte de 400 V. Encontre a corrente de linha I.

P = 40 kWpf = 0,8V = 400 V
I = A
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
240 V50 Hzcarga11 kW, 0,75C220 µFI = ?

Uma carga monofásica consome 11 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma fonte de 240 V, 50 Hz. Um capacitor de 220 µF é ligado em paralelo com a carga. Encontre a nova corrente de linha I.

P = 11 kWpf1 = 0,75V = 240 Vf = 50 HzC = 220 µF
I = A
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M45 kW, η = 91%cos φ = 0,9

Um motor de indução trifásico fornece 45 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 91% e seu fator de potência é 0,9 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 480 V. Encontre a corrente de linha IL.

Pout = 45 kWη = 91%cos φ = 0,9VL = 480 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 120 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,92 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 120 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: ΔIL = 2,451 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 4,8/12 = 0,4

Tensão no indutor durante o tempo de condução

Enquanto S conduz, o indutor fica entre Vin e Vo.

VL = 12 − 4,8 = 7,2 V

Ondulação de corrente

ΔIL = VL·D/(L·f) = 7,2·0,4/(47·10⁻⁶·25·10³) = 2,451 A

Resposta

ΔIL = 2,451 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: Io,min = 0,063 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 4,5/15 = 0,3

Ondulação de corrente

ΔIL = 4,5·0,7/(100·10⁻⁶·250·10³) = 0,126 A

Corrente de carga no limite

Io,min = ΔIL/2 = 0,063 A

Resposta

Io,min = 0,063 A

Abaixo dessa corrente o conversor entra em condução descontínua e Vo sobe acima de D·Vin.

3.Motores CC

Resposta: n = 756 rpm

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente de armadura

Ia = T/k = 18/1,2 = 15 A

fcem e velocidade

E = 110 − 15·1 = 95 V
ω = E/k = 79,17 rad/s → n = 756 rpm

Resposta

n = 756 rpm
4.Motores CC

Resposta: Pmax = 192 W

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Potência em função da fcem

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

Potência máxima

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·3) = 192 W

Resposta

Pmax = 192 W

Nesse ponto o rendimento é de apenas 50 %, por isso os motores reais funcionam bem acima da metade da velocidade.

5.Potência CA e fator de potência

Resposta: I = 125 A

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Corrente de linha

Só a parte ativa da potência realiza trabalho, então divida pelo fator de potência.

I = P/(V·cos φ) = 40000/(400·0,8) = 125 A

Resposta

I = 125 A
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: I = 51,66 A

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.

Q1 = 11·tan(arccos 0,75) = 9,701 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·220·10⁻⁶ = 3981 var = 3,981 kvar
Q2 = 9,701 − 3,981 = 5,72 kvar

Nova potência aparente

S2 = √(11² + 5,72²) = 12,4 kVA

Nova corrente de linha

I = S2/V = 12398/240 = 51,66 A

Resposta

I = 51,66 A
7.Potência trifásica

Resposta: IL = 66,09 A

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência elétrica de entrada

Pin = Pout/η = 45/0,91 = 49,45 kW

Corrente de linha

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 49451/(√3·480·0,9) = 66,09 A

Resposta

IL = 66,09 A
8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 394 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,7) = 120·1,02 = 122,4 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,92) = 120·0,426 = 51,12 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 71,3 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 23768/(377·400²) = 394 µF

Resposta

Cph = 394 µF

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