Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor boost ideal converte 24 V em 80 V a 50 kHz com L = 150 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 24 VVo = 80 Vf = 50 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 15 V em 7,5 V para uma carga de 2 Ω a 25 kHz, com L = 330 µH e C = 470 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.
Um motor CC consome 12 A de uma alimentação de 220 V. Sua resistência de armadura é 2 Ω e suas perdas rotacionais (atrito, ventilação e ferro) são 71 W. Encontre seu rendimento η.
V = 220 VIa = 12 ARa = 2 ΩProt = 71 W
η = %
4.Motores CCDifícil
Um motor CC (k = 1,2 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) em uma alimentação fixa de 120 V aciona uma carga de 30 N·m. Encontre a resistência em série Rs que o reduz a 400 rpm.
Um motor monofásico consome 21 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma fonte de 240 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.
P = 21 kWpf = 0,75V = 240 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Um transformador monofásico de 200 kVA alimenta uma carga de 108 kW com fator de potência 0,7 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?
Smax = 200 kVAP1 = 108 kWpf1 = 0,7
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 30 A de uma alimentação com tensão de linha de 400 V. O fator de potência é 0,95 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.
VL = 400 VIL = 30 Acos φ = 0,95
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 120 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 120 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 2,24 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 24/80 = 0,7
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.
VL = 24 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0,7/(150·10⁻⁶·50·10³) = 2,24 A
Resposta
ΔIL = 2,24 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: ΔVo = 4,836 mV
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 7,5/15 = 0,5
Ondulação de corrente no indutor
ΔIL = (15 − 7,5)·0,5/(330·10⁻⁶·25·10³) = 0,4545 A
Ondulação da saída
ΔVo = 0,4545/(8·25·10³·470·10⁻⁶) = 4,836 mV
Resposta
ΔVo = 4,836 mV
3.Motores CC
Resposta: η = 86,4 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potências
Pin = 220·12 = 2640 W
Pdev = 196·12 = 2352 W
Pout = 2352 − 71 = 2281 W
Rendimento
η = 2281/2640·100 = 86,4 %
Resposta
η = 86,4 %
4.Motores CC
Resposta: Rs = 2,589 Ω
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Corrente e fcem
Ia = 30/1,2 = 25 A
E = 1,2·41,89 = 50,27 V
Resistência em série
Ra + Rs = (120 − 50,27)/25 = 2,789 Ω
Rs = 2,589 Ω
Resposta
Rs = 2,589 Ω
O resistor desperdiça 1618 W; um chopper controla a velocidade com muito menos perdas.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: Q = 18,52 kvar
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Ângulo
φ = arccos(0,75) = 41,41°, tan φ = 0,8819
Potência reativa
Q = P·tan φ = 21·0,8819 = 18,52 kvar
Resposta
Q = 18,52 kvar
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: ΔP = 58,91 kW
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa da carga existente
Q1 = 108·tan(arccos 0,7) = 110,2 kvar
Maior potência ativa total
Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 110,2²) = 166,9 kW
Potência ativa adicional
ΔP = 166,9 − 108 = 58,91 kW
Resposta
ΔP = 58,91 kW
7.Potência trifásica
Resposta: P = 19,75 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência aparente
S = √3·VL·IL = √3·400·30 = 20,78 kVA
Potência ativa
P = S·cos φ = 20,78·0,95 = 19,75 kW
Resposta
P = 19,75 kW
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 315,4 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,9) = 120·0,4843 = 58,12 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 82,18 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.