Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
+−36 VLSCR = 2 Ω+−72 V

Um conversor boost ideal converte 36 V em 72 V para uma carga de 2 Ω. Encontre a corrente média no indutor IL.

Vin​ = 36 VVo​ = 72 VR = 2 Ω
IL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
tiL​Imax​IL​DTT2T

Um conversor buck-boost inversor ideal converte 12 V em −8 V para uma carga de 8 Ω a 250 kHz. Encontre a menor indutância Lcrit para condução contínua.

Vin​ = 12 VVo​ = −8 Vf = 250 kHzR = 8 Ω
Lcrit = µH
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)Tst​ = ?n0​

Um motor CC com k = 0,2 N·m/A e Ra = 0,5 Ω está ligado a 48 V. Encontre seu torque de travamento Tstall, o torque com velocidade zero.

V = 48 Vk = 0,2 N·m/ARa = 0,5 Ω
Tstall = N·m
4.Motores CCDifícil
+−120 VD = ?Ra​ = 0,2 ΩM+−En = 1000 rpmT = 1,5 N·m

Um chopper CC alimenta um motor (k = 0,15 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) a partir de um barramento CC de 120 V. A tensão média de armadura é D·120 V. Encontre a razão cíclica D que faz o motor funcionar a 1000 rpm com uma carga de 1,5 N·m.

Vdc = 120 Vk = 0,15 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 1,5 N·mn = 1000 rpm
D = %
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
230 V111 kW, 0,75214 kW, 1I = ?

Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 230 V: uma carga de 11 kW com fator de potência 0,75 indutivo e um aquecedor de 14 kW (fator de potência unitário). Encontre a corrente total I absorvida da fonte.

V = 230 VP1 = 11 kW, pf1 = 0,75 indutivoP2 = 14 kW, pf2 = 1
I = A
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
120 V1000 HzRs​ = 20 ΩXs​ = j10 ΩZL​ = ?

Uma fonte de 120 V (eficaz), 1000 Hz tem impedância interna Zs = 20 + j10 Ω. A impedância de carga ZL pode ser escolhida livremente. Encontre a potência ativa máxima Pmax que pode ser entregue à carga.

Vs = 120 V (rms)f = 1000 HzZs = 20 + j10 Ω
Pmax = W
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 480 VIL​ = 80 Acos φ = 0,95indutivo

Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 80 A de uma alimentação com tensão de linha de 480 V. O fator de potência é 0,95 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.

VL = 480 VIL = 80 Acos φ = 0,95
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 120 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,92 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 120 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: IL = 72 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 1 − 36/72 = 0,5

Corrente na carga

Io = 72/2 = 36 A

Corrente no indutor

IL = Io/(1 − D) = 36/0,5 = 72 A

Resposta

IL = 72 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: Lcrit = 5,76 µH

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 8/(12 + 8) = 0,4

Condição de limite

Iguale a corrente média no indutor à metade da ondulação de corrente e resolva para L.

Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)

Indutância crítica

Lcrit = (1 − 0,4)²·8/(2250·10³) = 5,76 µH

Resposta

Lcrit = 5,76 µH
3.Motores CC

Resposta: Tstall = 19,2 N·m

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente de travamento

Ia = V/Ra = 48/0,5 = 96 A

Torque de travamento

Tstall = 0,2·96 = 19,2 N·m

Resposta

Tstall = 19,2 N·m
4.Motores CC

Resposta: D = 14,76 %

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Tensão de armadura necessária

Va = 0,15·104,7 + 10·0,2 = 17,71 V

Ciclo de trabalho

D = 17,71/120 = 14,76 %

Resposta

D = 14,76 %
5.Potência CA e fator de potência

Resposta: I = 116,6 A

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa de cada carga

Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).

Q1 = 11·tan(arccos 0,75) = 9,701 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

Totais

P = 11 + 14 = 25 kW
Q = 9,701 + 0 = 9,701 kvar
S = √(25² + 9,701²) = 26,82 kVA

Corrente total

I = S/V = 26816/230 = 116,6 A

Resposta

I = 116,6 A
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: Pmax = 180 W

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Casamento conjugado

A reatância da carga anula a reatância da fonte, e a resistência da carga é igual à resistência da fonte.

ZL = Zs* = 20 − j10 Ω

Potência máxima

I = Vs/(2Rs) = 120/40 = 3 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 120²/(4·20) = 180 W

Resposta

Pmax = 180 W
7.Potência trifásica

Resposta: P = 63,19 kW

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência aparente

S = √3·VL·IL = √3·480·80 = 66,51 kVA

Potência ativa

P = S·cos φ = 66,51·0,95 = 63,19 kW

Resposta

P = 63,19 kW
8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 1027 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,92) = 120·0,426 = 51,12 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 89,18 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 29725/(377·277,1²) = 1027 µF

Resposta

Cph = 1027 µF

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