Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck ideal converte 36 V em 27 V com uma frequência de chaveamento de 25 kHz. Encontre a indutância L que mantém a ondulação pico a pico da corrente no indutor em 0,5 A.
Vin = 36 VVo = 27 Vf = 25 kHzΔIL = 0,5 A
L = µH
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 12 V em 9 V a 100 kHz com L = 33 µH. Encontre a capacitância de saída C que limita a ondulação pico a pico da saída a 5 mV.
Um motor CC com k = 0,3 N·m/A e Ra = 1,5 Ω está ligado a 48 V. Encontre seu torque de travamento Tstall, o torque com velocidade zero.
V = 48 Vk = 0,3 N·m/ARa = 1,5 Ω
Tstall = N·m
4.Motores CCDifícil
Um motor CC de 220 V tem resistência de armadura de 0,8 Ω. Encontre a resistência de partida em série Rst que limita a corrente de partida a 100 A.
V = 220 VRa = 0,8 ΩImax = 100 A
Rst = Ω
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Um motor monofásico consome 37 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma fonte de 240 V. Encontre a corrente de linha I.
P = 37 kWpf = 0,8V = 240 V
I = A
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma carga monofásica consome 15 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma fonte de 240 V, 50 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,95. Encontre a capacitância C necessária.
P = 15 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz
C = µF
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 30 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 90% e seu fator de potência é 0,82 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 480 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 30 kWη = 90%cos φ = 0,82VL = 480 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 50 kW com fator de potência 0,72 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,95 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 50 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: L = 540 µH
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 27/36 = 0,75
Indutância
L = 9·0,75/(0,5·25·10³) = 540 µH
Resposta
L = 540 µH
2.Conversores CC-CC
Resposta: C = 170,5 µF
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 9/12 = 0,75
Ondulação de corrente no indutor
ΔIL = (12 − 9)·0,75/(33·10⁻⁶·100·10³) = 0,6818 A
Capacitância
C = 0,6818/(8·100·10³·5·10⁻³) = 170,5 µF
Resposta
C = 170,5 µF
3.Motores CC
Resposta: Tstall = 9,6 N·m
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Corrente de travamento
Ia = V/Ra = 48/1,5 = 32 A
Torque de travamento
Tstall = 0,3·32 = 9,6 N·m
Resposta
Tstall = 9,6 N·m
4.Motores CC
Resposta: Rst = 1,4 Ω
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Resistência total
Ra + Rst = 220/100 = 2,2 Ω
Resistor de partida
Rst = 2,2 − 0,8 = 1,4 Ω
Resposta
Rst = 1,4 Ω
O resistor é retirado por etapas à medida que o motor acelera e a fcem cresce.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: I = 192,7 A
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Corrente de linha
Só a parte ativa da potência realiza trabalho, então divida pelo fator de potência.
I = P/(V·cos φ) = 37000/(240·0,8) = 192,7 A
Resposta
I = 192,7 A
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: C = 349,2 µF
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(36,87°) = 11,25 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(18,19°) = 4,93 kvar
QC = Q1 − Q2 = 6,32 kvar
Capacitância
Um capacitor ligado à fonte fornece Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 6320/(2π·50·240²) = 349,2 µF
Resposta
C = 349,2 µF
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 48,89 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 30/0,9 = 33,33 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 33333/(√3·480·0,82) = 48,89 A
Resposta
IL = 48,89 A
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 526,5 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,72) = 50·0,9639 = 48,19 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,95) = 50·0,3287 = 16,43 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 31,76 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.