Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck ideal converte 24 V em 16,8 V com uma frequência de chaveamento de 200 kHz. Encontre a indutância L que mantém a ondulação pico a pico da corrente no indutor em 1 A.
Vin = 24 VVo = 16,8 Vf = 200 kHzΔIL = 1 A
L = µH
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck ideal converte 36 V em 14,4 V para uma carga de 10 Ω a 50 kHz. Encontre a menor indutância Lcrit para condução contínua.
Vin = 36 VVo = 14,4 Vf = 50 kHzR = 10 Ω
Lcrit = µH
3.Motores CCMédia
Um motor CC consome 6 A de uma alimentação de 240 V. Sua resistência de armadura é 1,5 Ω e suas perdas rotacionais (atrito, ventilação e ferro) são 111 W. Encontre seu rendimento η.
V = 240 VIa = 6 ARa = 1,5 ΩProt = 111 W
η = %
4.Motores CCDifícil
Um pequeno motor CC tem resistência de armadura de 0,8 Ω e funciona com 110 V. Desprezando as perdas rotacionais, encontre a maior potência mecânica Pmax que ele pode desenvolver em qualquer velocidade.
V = 110 VRa = 0,8 Ω
Pmax = W
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Um motor monofásico consome 30 kW com fator de potência 0,85 indutivo de uma fonte de 240 V. Encontre a corrente de linha I.
P = 30 kWpf = 0,85V = 240 V
I = A
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Um transformador monofásico de 25 kVA alimenta uma carga de 11 kW com fator de potência 0,6 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?
Smax = 25 kVAP1 = 11 kWpf1 = 0,6
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 90 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 88% e seu fator de potência é 0,84 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 415 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 90 kWη = 88%cos φ = 0,84VL = 415 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 100 kW com fator de potência 0,8 indutivo de uma alimentação de 690 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 100 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: L = 25,2 µH
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 16,8/24 = 0,7
Indutância
L = 7,2·0,7/(1·200·10³) = 25,2 µH
Resposta
L = 25,2 µH
2.Conversores CC-CC
Resposta: Lcrit = 60 µH
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 14,4/36 = 0,4
Condição de limite
Iguale a corrente média no indutor à metade da ondulação de corrente e resolva para L.
Lcrit = (1 − D)·R/(2f)
Indutância crítica
Lcrit = (1 − 0,4)·10/(250·10³) = 60 µH
Resposta
Lcrit = 60 µH
3.Motores CC
Resposta: η = 88,54 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potências
Pin = 240·6 = 1440 W
Pdev = 231·6 = 1386 W
Pout = 1386 − 111 = 1275 W
Rendimento
η = 1275/1440·100 = 88,54 %
Resposta
η = 88,54 %
4.Motores CC
Resposta: Pmax = 3781 W
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potência em função da fcem
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V
Potência máxima
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 110²/(4·0,8) = 3781 W
Resposta
Pmax = 3781 W
Nesse ponto o rendimento é de apenas 50 %, por isso os motores reais funcionam bem acima da metade da velocidade.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: I = 147,1 A
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Corrente de linha
Só a parte ativa da potência realiza trabalho, então divida pelo fator de potência.
I = P/(V·cos φ) = 30000/(240·0,85) = 147,1 A
Resposta
I = 147,1 A
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: ΔP = 9,246 kW
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa da carga existente
Q1 = 11·tan(arccos 0,6) = 14,67 kvar
Maior potência ativa total
Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.
P = √(Smax² − Q1²) = √(25² − 14,67²) = 20,25 kW
Potência ativa adicional
ΔP = 20,25 − 11 = 9,246 kW
Resposta
ΔP = 9,246 kW
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 169,4 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 90/0,88 = 102,3 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 102273/(√3·415·0,84) = 169,4 A
Resposta
IL = 169,4 A
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 148 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 26,57 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.