Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
+−12 VLSCR = 25 Ω+−16 V

Um conversor boost ideal converte 12 V em 16 V para uma carga de 25 Ω. Encontre a corrente média no indutor IL.

Vin​ = 12 VVo​ = 16 VR = 25 Ω
IL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
tiL​Imax​IL​DTT2T

Um conversor boost ideal converte 12 V em 16 V para uma carga de 5 Ω a 500 kHz. Encontre a menor indutância Lcrit para condução contínua.

Vin​ = 12 VVo​ = 16 Vf = 500 kHzR = 5 Ω
Lcrit = µH
3.Motores CCMédia
+−VRa​M+−En = 960 rpmT = ?

Um motor CC fornece 7,5 kW de potência mecânica a 960 rpm. Encontre o torque no eixo T.

P = 7,5 kWn = 960 rpm
T = N·m
4.Motores CCDifícil
T (N·m)n (rpm)60 N·m1000 rpm

Um motor CC com k = 1,5 V·s/rad e Ra = 0,2 Ω deve acionar uma carga de 60 N·m a 1000 rpm. Encontre a tensão de armadura V de que ele precisa.

k = 1,5 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 60 N·mn = 1000 rpm
V = V
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
240 VZ8 + j6 ΩI

Uma carga com impedância Z = 8 + j6 Ω está ligada a uma fonte monofásica de 240 V (eficaz). Encontre a potência reativa Q que ela absorve.

V = 240 VZ = 8 + j6 Ω
Q = var
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

Uma carga monofásica consome 35 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma fonte de 230 V, 50 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,92. Encontre a potência reativa QC que o capacitor deve fornecer.

P = 35 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M75 kW, η = 91%cos φ = 0,82

Um motor de indução trifásico fornece 75 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 91% e seu fator de potência é 0,82 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 415 V. Encontre a corrente de linha IL.

Pout = 75 kWη = 91%cos φ = 0,82VL = 415 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 75 kW com fator de potência 0,78 indutivo de uma alimentação de 480 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 75 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: IL = 0,8533 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 1 − 12/16 = 0,25

Corrente na carga

Io = 16/25 = 0,64 A

Corrente no indutor

IL = Io/(1 − D) = 0,64/0,75 = 0,8533 A

Resposta

IL = 0,8533 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: Lcrit = 0,7031 µH

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 1 − 12/16 = 0,25

Condição de limite

Iguale a corrente média no indutor à metade da ondulação de corrente e resolva para L.

Lcrit = D(1 − D)²·R/(2f)

Indutância crítica

Lcrit = 0,25(1 − 0,25)²·5/(2500·10³) = 0,7031 µH

Resposta

Lcrit = 0,7031 µH
3.Motores CC

Resposta: T = 74,6 N·m

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Velocidade em rad/s

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

Torque

T = P/ω = 7500/100,5 = 74,6 N·m

Resposta

T = 74,6 N·m
4.Motores CC

Resposta: V = 165,1 V

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Força contraeletromotriz

E = 1,5·104,7 = 157,1 V

Corrente de armadura

Ia = 60/1,5 = 40 A

Tensão de armadura

V = 157,1 + 40·0,2 = 165,1 V

Resposta

V = 165,1 V
5.Potência CA e fator de potência

Resposta: Q = 3456 var

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Corrente

|Z| = √(8² + 6²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 240/10 = 24 A

Potência reativa

Q = I²·X = 24²·6 = 3456 var

Resposta

Q = 3456 var
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: QC = 15,96 kvar

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(41,41°) = 30,87 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(23,07°) = 14,91 kvar
QC = Q1 − Q2 = 15,96 kvar

Resposta

QC = 15,96 kvar
7.Potência trifásica

Resposta: IL = 139,8 A

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência elétrica de entrada

Pin = Pout/η = 75/0,91 = 82,42 kW

Corrente de linha

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 82418/(√3·415·0,82) = 139,8 A

Resposta

IL = 139,8 A
8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 91,52 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 75·tan(acos 0,78) = 75·0,8023 = 60,17 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,9) = 75·0,4843 = 36,32 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 23,85 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 7949/(377·480²) = 91,52 µF

Resposta

Cph = 91,52 µF

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