Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck converte 15 V em 7,5 V para uma carga de 4 Ω. Ele chaveia a 100 kHz com L = 68 µH. Encontre a corrente de pico no indutor Imax.
Vin = 15 VVo = 7,5 Vf = 100 kHzL = 68 µHR = 4 Ω
Imax = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor boost ideal converte 48 V em 64 V para uma carga de 12 Ω a 20 kHz. O capacitor de saída é de 47 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.
Vin = 48 VVo = 64 Vf = 20 kHzC = 47 µFR = 12 Ω
ΔVo = mV
3.Motores CCMédia
Um motor CC (k = 0,8 V·s/rad, Ra = 1 Ω) funciona com 110 V. A plena carga ele consome 10 A. Desprezando a corrente a vazio, encontre sua regulação de velocidade SR = (n₀ − nFL)/nFL em porcentagem.
V = 110 Vk = 0,8 V·s/radRa = 1 ΩIFL = 10 A
SR = %
4.Motores CCDifícil
Um motor CC de excitação independente em 48 V (Ra = 0,25 Ω) gira a 1440 rpm com uma corrente de armadura de 12 A. A carga muda e a corrente passa a 24 A, com o campo inalterado. Encontre a nova velocidade n2.
V = 48 VRa = 0,25 Ωn1 = 1440 rpmIa1 = 12 AIa2 = 24 A
n2 = rpm
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Duas cargas estão ligadas em paralelo a uma fonte monofásica de 240 V: uma carga de 23 kW com fator de potência 0,85 indutivo e um aquecedor de 20 kW (fator de potência unitário). Encontre o fator de potência global cos φ visto pela fonte.
Uma carga monofásica consome 30 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma fonte de 400 V, 60 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,98. Encontre a capacitância C necessária.
P = 30 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 37 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 92% e seu fator de potência é 0,82 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 690 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 37 kWη = 92%cos φ = 0,82VL = 690 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 75 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma alimentação de 415 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,92 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 75 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: Imax = 2,151 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 7,5/15 = 0,5
Corrente média e ondulação
Io = 7,5/4 = 1,875 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 7,5·0,5/(68·10⁻⁶·100·10³) = 0,5515 A
Corrente de pico
Imax = 1,875 + 0,5515/2 = 2,151 A
Resposta
Imax = 2,151 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: ΔVo = 1418 mV
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 1 − 48/64 = 0,25
Corrente na carga
Io = 64/12 = 5,333 A
Ondulação da saída
ΔVo = 5,333·0,25/(20·10³·47·10⁻⁶) = 1418 mV
Resposta
ΔVo = 1418 mV
3.Motores CC
Resposta: SR = 10 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Velocidade a vazio e a plena carga
n₀ = 60·110/(2π·0,8) = 1313 rpm
nFL = 60·(110 − 10·1)/(2π·0,8) = 1194 rpm
Regulação de velocidade
SR = (1313 − 1194)/1194·100 = 10 %
Resposta
SR = 10 %
4.Motores CC
Resposta: n2 = 1344 rpm
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
fcem antes e depois
E1 = 48 − 12·0,25 = 45 V
E2 = 48 − 24·0,25 = 42 V
Nova velocidade
n2 = 1440·42/45 = 1344 rpm
Resposta
n2 = 1344 rpm
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: cos φ = 0,9492
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa de cada carga
Uma carga indutiva consome potência reativa (Q > 0); uma carga capacitiva a fornece (Q < 0).
Q1 = 23·tan(arccos 0,85) = 14,25 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totais
P = 23 + 20 = 43 kW
Q = 14,25 + 0 = 14,25 kvar
S = √(43² + 14,25²) = 45,3 kVA
Fator de potência global
cos φ = P/S = 43/45,3 = 0,9492 indutivo
Resposta
cos φ = 0,9492
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: C = 406,4 µF
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(45,57°) = 30,61 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(11,48°) = 6,092 kvar
QC = Q1 − Q2 = 24,51 kvar
Capacitância
Um capacitor ligado à fonte fornece Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 24514/(2π·60·400²) = 406,4 µF
Resposta
C = 406,4 µF
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 41,04 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 37/0,92 = 40,22 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 40217/(√3·690·0,82) = 41,04 A
Resposta
IL = 41,04 A
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 175,5 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,75) = 75·0,8819 = 66,14 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 34,19 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.