Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck ideal converte 12 V em 3,6 V a 40 kHz com L = 150 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 12 VVo = 3,6 Vf = 40 kHzL = 150 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 24 V em 18 V para uma carga de 50 Ω a 250 kHz, com L = 330 µH e C = 100 µF. Encontre a ondulação pico a pico da tensão de saída ΔVo em mV.
Um motor CC (k = 1 N·m/A, Ra = 2 Ω) funciona com 110 V e aciona um torque de carga de 6 N·m. Encontre sua velocidade n em rpm.
V = 110 Vk = 1 N·m/ARa = 2 ΩT = 6 N·m
n = rpm
4.Motores CCDifícil
Um pequeno motor CC tem resistência de armadura de 4 Ω e funciona com 120 V. Desprezando as perdas rotacionais, encontre a maior potência mecânica Pmax que ele pode desenvolver em qualquer velocidade.
V = 120 VRa = 4 Ω
Pmax = W
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Um motor monofásico consome 2 kW com fator de potência 0,9 indutivo de uma fonte de 230 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.
P = 2 kWpf = 0,9V = 230 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma carga monofásica consome 15 kW com fator de potência 0,6 indutivo de uma fonte de 240 V, 50 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,92. Encontre a capacitância C necessária.
P = 15 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,92V = 240 Vf = 50 Hz
C = µF
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga equilibrada ligada em Y com impedância de 15 + j20 Ω por fase está ligada a uma alimentação trifásica equilibrada com tensão de linha de 400 V. Encontre a potência ativa total P absorvida pela carga em kW.
VL = 400 VZ = 15 + j20 Ω por fase
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 250 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma alimentação de 415 V (tensão de linha), 50 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,95 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.
P = 250 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 0,42 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 3,6/12 = 0,3
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica entre Vin e Vo.
VL = 12 − 3,6 = 8,4 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 8,4·0,3/(150·10⁻⁶·40·10³) = 0,42 A
Resposta
ΔIL = 0,42 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: ΔVo = 0,2727 mV
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 18/24 = 0,75
Ondulação de corrente no indutor
ΔIL = (24 − 18)·0,75/(330·10⁻⁶·250·10³) = 0,05455 A
Ondulação da saída
ΔVo = 0,05455/(8·250·10³·100·10⁻⁶) = 0,2727 mV
Resposta
ΔVo = 0,2727 mV
3.Motores CC
Resposta: n = 935,8 rpm
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Corrente de armadura
Ia = T/k = 6/1 = 6 A
fcem e velocidade
E = 110 − 6·2 = 98 V
ω = E/k = 98 rad/s → n = 935,8 rpm
Resposta
n = 935,8 rpm
4.Motores CC
Resposta: Pmax = 900 W
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potência em função da fcem
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 60 V
Potência máxima
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 120²/(4·4) = 900 W
Resposta
Pmax = 900 W
Nesse ponto o rendimento é de apenas 50 %, por isso os motores reais funcionam bem acima da metade da velocidade.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: Q = 0,9686 kvar
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Ângulo
φ = arccos(0,9) = 25,84°, tan φ = 0,4843
Potência reativa
Q = P·tan φ = 2·0,4843 = 0,9686 kvar
Resposta
Q = 0,9686 kvar
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: C = 752,1 µF
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(53,13°) = 20 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(23,07°) = 6,39 kvar
QC = Q1 − Q2 = 13,61 kvar
Capacitância
Um capacitor ligado à fonte fornece Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 13610/(2π·50·240²) = 752,1 µF
Resposta
C = 752,1 µF
7.Potência trifásica
Resposta: P = 3,84 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tensão de fase
Vph = 400/√3 = 230,9 V
Corrente de fase
|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
Iph = 230,9/25 = 9,238 A
Potência ativa total
Só a parte resistiva de cada impedância absorve potência ativa.
P = 3·Iph²·R = 3·9,238²·15 = 3,84 kW
Resposta
P = 3,84 kW
Verificação: cos φ = R/|Z| = 0,6, e √3·VL·IL·cos φ dá a mesma potência.
8.Potência trifásica
Resposta: QC = 138,3 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.