Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck ideal converte 15 V em 10,5 V a 250 kHz com L = 22 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 15 VVo = 10,5 Vf = 250 kHzL = 22 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 48 V em 36 V a 100 kHz com L = 100 µH. Encontre a menor corrente de carga Io,min para a qual ele permanece em condução contínua.
Vin = 48 VVo = 36 Vf = 100 kHzL = 100 µH
Io,min = A
3.Motores CCMédia
Um motor CC fornece 1,5 kW de potência mecânica a 1000 rpm. Encontre o torque no eixo T.
P = 1,5 kWn = 1000 rpm
T = N·m
4.Motores CCDifícil
Um chopper CC alimenta um motor (k = 0,1 V·s/rad, Ra = 0,4 Ω) a partir de um barramento CC de 220 V. A tensão média de armadura é D·220 V. Encontre a razão cíclica D que faz o motor funcionar a 1200 rpm com uma carga de 0,2 N·m.
Uma carga indutiva consome 9,5 A e 1140 W de uma fonte monofásica de 240 V (eficaz). Modele-a como uma resistência R em série com uma reatância X. Encontre X.
V = 240 VI = 9,5 AP = 1140 W
X = Ω
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma carga monofásica consome 40 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma fonte de 400 V, 50 Hz. Um capacitor ligado em paralelo eleva o fator de potência para 0,9. Encontre a nova corrente de linha Inew.
P = 40 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9V = 400 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga equilibrada ligada em Δ com impedância de 3 + j4 Ω por fase está ligada a uma alimentação trifásica equilibrada com tensão de linha de 400 V. Encontre a potência ativa total P absorvida pela carga em kW.
VL = 400 VZ = 3 + j4 Ω por fase
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 100 kW com fator de potência 0,72 indutivo de uma alimentação de 690 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 100 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 0,5727 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 10,5/15 = 0,7
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica entre Vin e Vo.
VL = 15 − 10,5 = 4,5 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 4,5·0,7/(22·10⁻⁶·250·10³) = 0,5727 A
Resposta
ΔIL = 0,5727 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: Io,min = 0,45 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 36/48 = 0,75
Ondulação de corrente
ΔIL = 36·0,25/(100·10⁻⁶·100·10³) = 0,9 A
Corrente de carga no limite
Io,min = ΔIL/2 = 0,45 A
Resposta
Io,min = 0,45 A
Abaixo dessa corrente o conversor entra em condução descontínua e Vo sobe acima de D·Vin.
3.Motores CC
Resposta: T = 14,32 N·m
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Velocidade em rad/s
ω = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
Torque
T = P/ω = 1500/104,7 = 14,32 N·m
Resposta
T = 14,32 N·m
4.Motores CC
Resposta: D = 6,076 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Tensão de armadura necessária
Va = 0,1·125,7 + 2·0,4 = 13,37 V
Ciclo de trabalho
D = 13,37/220 = 6,076 %
Resposta
D = 6,076 %
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: X = 21,88 Ω
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Resistência pela potência ativa
R = P/I² = 1140/9,5² = 12,63 Ω
Reatância pela impedância
|Z| = V/I = 240/9,5 = 25,26 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(25,26² − 12,63²) = 21,88 Ω
Resposta
X = 21,88 Ω
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: Inew = 111,1 A
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.
Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(49,46°) = 46,77 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(25,84°) = 19,37 kvar
QC = Q1 − Q2 = 27,39 kvar
Nova corrente de linha
Inew = P/(V·cos φ2) = 40000/(400·0,9) = 111,1 A
Resposta
Inew = 111,1 A
7.Potência trifásica
Resposta: P = 57,6 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Tensão de fase
Vph = VL = 400 V
Corrente de fase
|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
Iph = 400/5 = 80 A
Potência ativa total
Só a parte resistiva de cada impedância absorve potência ativa.
P = 3·Iph²·R = 3·80²·3 = 57,6 kW
Resposta
P = 57,6 kW
Verificação: cos φ = R/|Z| = 0,6, e √3·VL·IL·cos φ dá a mesma potência.
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 267,2 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,72) = 100·0,9639 = 96,39 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 47,95 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.