Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
+−24 VSL = ?CR+−12 V

Um conversor buck ideal converte 24 V em 12 V com uma frequência de chaveamento de 500 kHz. Encontre a indutância L que mantém a ondulação pico a pico da corrente no indutor em 0,3 A.

Vin​ = 24 VVo​ = 12 Vf = 500 kHzΔIL = 0,3 A
L = µH
2.Conversores CC-CCDifícil
+−15 VSL = 100 µHC = ?R+−7,5 V

Um conversor buck converte 15 V em 7,5 V a 40 kHz com L = 100 µH. Encontre a capacitância de saída C que limita a ondulação pico a pico da saída a 10 mV.

Vin​ = 15 VVo​ = 7,5 Vf = 40 kHzL = 100 µHΔVo = 10 mV
C = µF
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)0,6 N·mn0​n = ?

Um motor CC (k = 0,3 N·m/A, Ra = 1,2 Ω) funciona com 48 V e aciona um torque de carga de 0,6 N·m. Encontre sua velocidade n em rpm.

V = 48 Vk = 0,3 N·m/ARa = 1,2 ΩT = 0,6 N·m
n = rpm
4.Motores CCDifícil
+−240 VD = ?Ra​ = 0,5 ΩM+−En = 1000 rpmT = 18 N·m

Um chopper CC alimenta um motor (k = 1,2 V·s/rad, Ra = 0,5 Ω) a partir de um barramento CC de 240 V. A tensão média de armadura é D·240 V. Encontre a razão cíclica D que faz o motor funcionar a 1000 rpm com uma carga de 18 N·m.

Vdc = 240 Vk = 1,2 V·s/radRa = 0,5 ΩT = 18 N·mn = 1000 rpm
D = %
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
120 VR + jXP = 1215 W13,5 A

Uma carga indutiva consome 13,5 A e 1215 W de uma fonte monofásica de 120 V (eficaz). Modele-a como uma resistência R em série com uma reatância X. Encontre R.

V = 120 VI = 13,5 AP = 1215 W
R = Ω
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
P1​ = 41 kWQ1​S1​φ

Um transformador monofásico de 100 kVA alimenta uma carga de 41 kW com fator de potência 0,7 indutivo. Quanta potência ativa adicional ΔP pode ser acrescentada como carga resistiva (fator de potência unitário) antes que o transformador atinja sua potência nominal em kVA?

Smax = 100 kVAP1 = 41 kWpf1 = 0,7
ΔP = kW
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 480 VIL​ = 150 Acos φ = 0,7indutivo

Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 150 A de uma alimentação com tensão de linha de 480 V. O fator de potência é 0,7 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.

VL = 480 VIL = 150 Acos φ = 0,7
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 60 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma alimentação de 400 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,98 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 60 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: L = 40 µH

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 12/24 = 0,5

Indutância

L = 12·0,5/(0,3·500·10³) = 40 µH

Resposta

L = 40 µH
2.Conversores CC-CC

Resposta: C = 293 µF

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 7,5/15 = 0,5

Ondulação de corrente no indutor

ΔIL = (15 − 7,5)·0,5/(100·10⁻⁶·40·10³) = 0,9375 A

Capacitância

C = 0,9375/(8·40·10³·10·10⁻³) = 293 µF

Resposta

C = 293 µF
3.Motores CC

Resposta: n = 1451 rpm

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente de armadura

Ia = T/k = 0,6/0,3 = 2 A

fcem e velocidade

E = 48 − 2·1,2 = 45,6 V
ω = E/k = 152 rad/s → n = 1451 rpm

Resposta

n = 1451 rpm
4.Motores CC

Resposta: D = 55,48 %

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Tensão de armadura necessária

Va = 1,2·104,7 + 15·0,5 = 133,2 V

Ciclo de trabalho

D = 133,2/240 = 55,48 %

Resposta

D = 55,48 %
5.Potência CA e fator de potência

Resposta: R = 6,667 Ω

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Resistência pela potência ativa

R = P/I² = 1215/13,5² = 6,667 Ω

Resposta

R = 6,667 Ω
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: ΔP = 49,83 kW

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa da carga existente

Q1 = 41·tan(arccos 0,7) = 41,83 kvar

Maior potência ativa total

Na potência nominal S = Smax, e Q não é alterada pela carga resistiva.

P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 41,83²) = 90,83 kW

Potência ativa adicional

ΔP = 90,83 − 41 = 49,83 kW

Resposta

ΔP = 49,83 kW
7.Potência trifásica

Resposta: P = 87,3 kW

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Potência aparente

S = √3·VL·IL = √3·480·150 = 124,7 kVA

Potência ativa

P = S·cos φ = 124,7·0,7 = 87,3 kW

Resposta

P = 87,3 kW
8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 961 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,98) = 60·0,2031 = 12,18 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 57,96 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 19321/(377·230,9²) = 961 µF

Resposta

Cph = 961 µF

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